MP

X=S + ^ TaP^e,

et on en déduit en ajoutant

(i5) 2X = S-h^ r(MP'VÂp')£ = SH--^- Cru,

et cette formule, comparée à (8), démontre le théorème de Steiner.

392. La somme i r^i, qui figure dans les expressions (8) et (i5), est la seule

partie des deux surfaces considérées qui varie avec la position du point 31 sur le plan de la courbe donnée à laquelle il est lié. Les lois de variation de cette expression sont fort simples. Elles peuvent se rattacher à une propriété Irès-connue du centre de gravité. Que l'on attribue en effet à chaque élément de la courbe

une densité inversement proportionnelle à son rayon de courbure, de telle sorte

que la masse de l'élément ds soit égale à — -, ou, ce qui revient au même, à l'angle

de contingence s. : la somme 1 r'^s est la somme de ces masses élémentaires multipliées chacune par le carré de la distance au point M; or on sait qu'une telle somme est minima quand le point M est placé au centre de gravité G de l'ensemble des masses, et que la valeur relative à tout autre point M est égale à cette

valeur minima augmentée de la masse totale I s, c'est-à-dire 4", multipliée par le

carré de la distance GM.

Il résulte évidemment de cette remarque que le lieu des points qui sur un plan, dans le roulement d'une courbe donnée, engendrent des roulettes de même aire est un cercle dont le centre engendre la roulette d'aire minima.

Il est aisé de prouver directement que, quelle que soit la forme de la courbe donnée, le lieu des points tels que le lieu des pieds de perpendiculaires abaissées sur les tangentes enferme une aire donnée est un cercle dont le centre est indépendant de la valeur de cette aire.

Soient AHKI la courbe donnée et MP, MP' les perpendiculaires abaissées du

point M sur deux tangentes voisines, l'aire de la courbe PP' est évidemment

£ désignant l'angle des deux perpendiculaires MP, MP', égal à celui des tangentes. Soit 6 l'angle de l'une des tangentes avec l'axe des X, son équation est de la forme

X sinO — fC0s6 -h p = o,

D étant une fonction de Q. Soient « et |S les coordonnées du point M, on a

MP = a sin 9 — (3 ces 9 -+- />, t — dO,

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, et par conséquent l'aire totale de la courbe lieu des points/? est

{asine — ^cosB + pfdO

sin9 cosOdO

la I p

Jf^lTZ fin

pcoii9d0+ / p'dO.

sixiOdQ — 23 / pcosOdO 'o

On a

/ s\n'6de — Tz,

j cos'Ode — i:,

Jet

Jsin0cos9r/9 = o,

et par conséquent l'aire cherchée, considérée comme fonction de a et de /3, est exprimée par un polynôme de second degré, dont les termes du second degré se réduisent à ncr -k- n^- , et en l'égalant à une constante, on aura par conséquent l'équation d'uA cercle.

Théorème de M. Holditch.

393. Si dans une courbe fermée on inscrit une corde de longueur constante c -+- c' , le point qui la divise en deux segments c et c' décrit une courbe dont l'aire est égale à celle de la courbe donnée diminuée du produit ncc', en sorte que l'aire comprise entre les deux courbes, dont l'une est entièrement arbitraire, est exprimée exactement par tt ce'.

Soient AB la corde dans l'une de ses positions et P le point décrivant, de telle sorte que l'on ait AP = c, BP = c'. Soit Q le point d'intersection de la corde avec

sa position infiniment voisine, c'est-à-dire (I, t04) le point de contact avec son enveloppe. Soient [A] l'aire de la courbe donnée, [PJ et [Q] celles des courbes engendrées par les points P et Q, AQ = r, BQ = c -h c' — r.

On a évidemment

(.6) . [A]-[Q]=1 r"rV/S

et aussi

[A]-[Q]=; r^ie + e'-rrde;

d9 désignant l'angle de deux cordes voisines, on en conclut

r-de= {c + c'- i-yde,

et, en supprimant le terme commun,

rdO — {c-\- c'y \ dB, et par suite

rde^TTin-i-c').

Mais on a évidemment aussi

[P]-[Q]=; f^\c-rydô; ■^ «/o

donc, à cause de (i6),

[A] — [P]=-/ iicr~c')d6 = c rdO — r.c',

et, a cause de (17),

[A] — [V] = -Kcic + c' ) — r.c^ = r.cc ,

ce qu'il fallait démontrer.

Longueur d'un arc de courbe.

394. On a donné (I, 118) diverses expressions de la différentielle d'un arc de courbe, chacune d'elles ramène évidemment la détermination de l'arc au calcul d'une intégrale.

Arc d'ellipse. — Soient a et 6 les arcs d'une ellipse dont l'équation est Ji