COS(}> COS

d'où l'on déduit celte seconde expression

ds =■ — ï- \I\P + a' sin^

CCS

(20) *=/ — Y" v^6' + «'sin»<B.

Posons encore

r= - langcp,

c désignant, comme plus haut, la distance du centre au foyer va^ + b^ , on déduira de l'équation de la courbe

V/ I ■ ■ sin^o =: V ' — «' sin'œ ' a' ^ costjj ' ^

et

ds =: ^dx^ -I- (/j' = d(f,

V CCS' 9 V I — ^' sin^ 9

ces' 9 ^i — e''sin'9

Cette intégrale peut être ramenée à deux autres plus simples. On a en effet identiquement, comme on s'en assure par des réductions évidentes,

I — eM , [i — e'

(/(tang9 v'i — p'sin"9) = </9 yi — e'sin»9 + = ^9 — =d<^,

y/i — e'sin'-'9 cos'9 y/i — e'sin'9

et par conséquent, comme b- — a^(e'^— i),

a , , r do a I , — . — —

(21) ,v=-(e^— i)( ^ -■- = - tang9 y 1 — e^ sm^y

** J cos'9 VI — «'' sin'9 *

- i rfo) Vi — e'siii'9 H — I ,

e^ sm^'œ

et si l'on prend les intégrales entre les limites zéro et 9, l'arc commencera au point pour lequel y = o, c'est-à-dire au sommet de la courbe.

Si l'on calcule la perpendiculaire abaissée du centre sur la normale, ou, ce qui revient au même, la distance de l'extrémité de l'arc considéré à la projection du centre sur la tangente, on la trouve égale à

- lang9 ^i — e"sin^9,