LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. et par conséquent

ds= 2.a sin - u du,

s^ — 4« cos - M + C.

Si l'on fait commencer l'arc s au sommet où u = n, lorsque u augmente de zéro à 7T la différentielle ds est négative; il faut donc changer le signe du résultat, et comme la constante, dans ce cas, est évidemment nulle, on a

S = ift COS - M,

ce qui s'accorde avec le résultat trouvé (I, 20).

401. Arc de cardioïde. — L'équation de la cardioide est (389)

p = « + « COSO).

La différentielle de son arc est par conséquent donnée par la formule

ds' = dp' -+■ f dh9 -r- 4 ce ces' - </o)',

ds ^ 3, a cos — d(jt,

et l'on a

* = 4«sm — h C.

Si l'on compte les arcs à partir du point pour lequel on a w = o. la constante est nulle et l'on a

asm -■

Pour ',) ■= n, on a

et la circonférence totale de la courbe est 8a.

Théorème de Steiner.

402. La longueur totale de la cardioide est égale à celle de la cycloide engendrée par un point du cercle considéré, lorsque celui-ci roule sur une de ses tan-

gentes. La coïncidence n'est pas fortuite, elle est la conséquence nécessaire d'un

théorème élégant dû à Sleiner :

Lorsqu'une courbe quelconque roule sur une de ses tangentes, la longueur de la roulette engendrée par un point du plan lié invariablement à cette courbe est égale à la portion correspondante de la ligne lieu des pieds des perpendicLlaircs abaissées de ce même point sur les tangentes à la courbe mobile.

Soit M la position du point décrivant au moment où la courbe mobile touche en A la droite sur laquelle elle roule. Lorsque le point voisin A' vient par suite du

roulement se placer au contact de la tangente fixe, on peut regarder le point M comme tournant autour de A d'un angle égal à l'angle de contingence de l'arc AA', et l'arc qu'il décrit ei't égal, aux infiniment petits du second ordre près, au produit du rayon AM par cet angle de contingence s; mais si l'on abaisse du point M des perpendiculaires sur les deux tangentes de la courbe supposée fixe, l'élément PP' coupe les tangentes AP, AP' (I, 14j sous un angle égal à MAP. Cet élément PP' a par conséquent pour expression