Appliquons la méthode à quelques exemples

Soit à calculer

Ç dx

p désignant un nombre entier quelconque. On trouve aisément

i I h r a" gp-' rt 1

x{a+bx)i'^ a^ x~ ai'+' i[a + bxy {u + bx)'"' '" a + bxj

et par conséquent

/dx i . a + bx -^ I

xïa+Jxy ~"~ aP X '" ^ ïp — k)a^{a + bxy'-'' '

Soit encore

r dx

J a + bx+ ex'' '

on a

dx dx

[a + bx + CX') ( , by ^ac — b-

et (21)

/dx 2 7.CX-\-b , r= arc lang - — a + hx + ex' ^l^ac — b' ^^nc—b'

Cette formule, il faut le remarquer, est applicable à tous les cas, et, lors même qu'elle est compliquée d'imaginaires, elle peut donner, par les transformations connues, l'expression réelle de l'intégrale.

Il est plus simple pourtant, lorsque 4ac— b- est négatif, de décomposer le trinôme a + bx -^ cx'^ en ses deux facteurs réels et la fraction à intégrer en fractions simples correspondantes. On trouve ainsi

dx I 2CX-\-b — y//>' — 4

/dx I .

n + bx + ex' "~ Jb^ — Aac

ac

+ bx + ex' y/b' — !\(w 1CX + 6 + ^b'— ^ae

1 , icx + b — db^ — ^ac

log

ijb^ — l\ac \/a+ bx + ex'

L'identité de ces formules avec la formule (i i) est aisée à établir. On trouve aussi, en adoptant les notations indiquées (16),

dx — 2 . , o.ex + b

1 T-^ = , — ^ sect. col hyp.

Ja+bx + ex' Jb' — Aae

+ ex' ^1,2 ^ ae \/b' — /^ac

et sous cette forme l'analogie des deux cas devient plus évidente.

Si dans les formules précédentes on suppose a = i . c = i , 6 = a cosç, on trouve

dx I X + cosc = — — arc tan g — . ■

\ + 9.x COS<f + X' 810 9 SI"?