LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

et lorsque ce point, faisant le tour entier de la courbe, revient à sa première |)Osilion, la portion MP reprenant évidemment sa valeur primitive, l'accroissement total de AMP est égal a la circonférence entière de la courbe considérée. Pour évaluer cette circonférence, il suOll donc d'intégrer la différentielle de AMP égale évidemment à

(i; dÂM-hdUP.

Le ibéorème démontré (1, 21) donne l'expression de ^MP, qui, [)our le déplacement MM' du point M, lorsque MP devient M'P', est

— MM'+PP'cosPF,MP,

et l'expression (i) est égale par conséquent à

ri'cosPF.MP,

c'est-a-dire, évidemment, à l'arc de cercle décrit du point 0 comme centre avec OP pour rayon et compris entre OP et OP'.

Si l'on nomme/» la perpendiculaire OP abaissée du point 0 sur la tangente et £ l'angle de contingence de l'arc M.M', égal évidemment à l'angle P'OP, la différentielle de AMP est d'après cela/js, et la longueur totale de la courbe

jp^,

c'est-à-dire, en nommant p le rayon de courbure.

l^cts,

l'intégration s'étendant au contour entier.

Tliéorhme de Pascal.

404. Les géomètres, en étudiant la rectification des courbes, ont souvent obtenu des relations simples entre des arcs de forme très-di lié rente qui, pris isolément, ne pourraient être rectifiés.

Pascal, le premier, en a donné un exemple très-élégant en démontrant que la longueur de la courbe engendrée par un point attaché à un cercle qui roule est égal à la circonférence d'une certaine ellipse.

L'expression des différentielles des arcs permet de démontrer bien simplement ce théorème de Pascal.

Soit M le point décrivant de la roulette allongée MM', en noiniiiant r le rayon

de cercle, u l'angle dont il a tourné pour parvenir dans la position C, A,, el a la distance MC; les coordonnées a?, et j, du point M' sont évidemment

Xt = ru — a sin u, y\ = /■ — a cos u,

et l'on a, en nommant ds la différentielle de l'arc,

(/«':= dx] -t- dy] = du^ [('' — ncosu)'-h «' sin' m] :={«"+ r'— 2.ar cos u)duou

ds :

r)'— 4«/cos=- a,

■ ^= du i/ [a ■

et en posant u = r. — 2<p

ds=z— 'i.d<^ V(« -t- l'f — 2«/-sin''(p,

et la longueur totale de la courbe est représentée par l'intégrale

(7::- 2/ d(f^{a + !•)'' — ^ar sin''(f.

ce qui (394) représente la circonférence d'une ellipse.

Théorème de Jacques BernouUi.

405. Jacques BernouUi, le premier, a assigné sur une même courbe des arcs non superposables dont l'égalité se démontre sans qu'il soit possible d'évaluer leur longueur commune. C'est par là sans doute que la voie a été ouverte à Fagnano, dont le beau théorème sur les arcs d'ellipse a révélé à Euler le principe fondamental de la grande théorie des fonctions elliptiques.

La courbe considérée par BernouUi est nommée par lui spirale parabolique ; clic

UVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, a pour équation en coordonnées polaires

p = R — sj-ip^M, p et R désignant des lignes données. Si l'on nomme s l'arc de cette spirale, on a

ds^ = da' + p' rfci' — rfp' + p' ' P ~ ^ do--.

I r ri pij^-i

En posant

l'expression de ds devient

et l'arc compris depuis le point correspondant à /5' = o jusqu'à celui qui correspond à p' = / est représenté par

^j;Vy/,.«.- (,.-«:)■,

l'arc compris entre les points correspondant à p' = o et ,o' = — / est représenté par

Ces deux intégrales ont précisément la même valeur, car les deux cléments qui correspondent à des valeurs égales et de signes contraires de a' sont évidemment

égaux. Le point qui correspond à p' = o, c'est-à-dire à p = — > est donc le milieu

de l'arc pour les extrémités duquel on a p' = / et p' = — /, c'est-à-dire p -= h /

et p = /, et l'on peut assigner d'une infinité de manières sur la spirale parabolique des arcs dont l'égalité est démontrée quoiqu'ils ne soient pas superposables.

Théorèmes de Fognano.

406. Dans le tome IX du journal I letterati Italiani , Fagnano proposait aux géomètres le problème suivant :

Trouver sur la courbe dont l'équation est

deux arcs dont la différence soit rectifiabic.

>L>-eVt^

376 DEUXlfîMR PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

Aucune solution n'ayant élc donnée dans le terme d'une année qu'il avait assigné, Fagnano publia la sienne en l'accompagnant do plusieurs théorèmes analogues avec l'indication de la méthode qui les lui avait fait découvrir.

Soit une intégrale

Si on la transforme en substituant à x une variable nouvelle z qui lui soit liée par une relation connue, il peut arriver que, toutes réductions faites, <s^[x)dx se transforme tw(!^[z)dz en conservant la même forme, de telle sorte que, par le changement de variables, les limites seules aient été changées; on a alors une équation de la forme

i^{x)dx = I cf(z)dz.

Dans d'autres cas, l'expression o{x) dx se transforme en — 'f (z) dz, et l'on a

(f{x)(!x -+■ I (D{z]dz^zo,

les limites c et rf étant, comme dans le cas précédent, liées a a etl\ b par la formule de transformation.

Si l'intégrale considérée représente un arc de courbe ou l'excès de la longueur d'un tel arc sur celle d'une ligne droite connue, les formules précédentes feront connaître sur cette courbe des arcs égaux ou des arcs à différence reclifiable.

Considérons par exemple l'intégrale

dx

En posant a- — -■- on a

dx dz dz

et par conséquent.

Ç^ dx r dz Ç" dz

Ja \'T+x'' J\ \ll -+- Z' .'■ V^I-f-2'

Fagnano déduit de cette remarque un théorème élégant relatif aux arcs de la