La différentielle

dx

\jx — x^ se change en une autre de même forme quand on pose

On a en effet

dx dz

\/x— x' \fz — z^

Fagnano a déduit de cette remarque un théorème fort célèbre qui permet d'assigner des arcs de même longueur sur la courbe nommée lemniscate. La lemniscate a pour équation

x'^ -\- y"- zz^ a \^ 2. ^ X'' — y' .

On peut obtenir les différents points en posant

X =^ a \Ju + H"- , X ^= a VM — «■ .

On a, en adoptant u pour variable,

a du

ds= ^dx''-\- df'

^2 \/u— u' et, en nommant s l'arc compté à partir de l'origine,

f'' a du . ., \Ji Ju — M