LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

Si l'on pose

I + Ui

on aura

r'+'= du, r' du,

Jt y/w, — ^<f Ji — c^u, — i

Mais le second membre représente l'arc de lemniscate compris entre les points qui

correspondent à M = et à m = i. Si donc on considère sur la courbe, qui a la

forme représentée sur la figure, deux arcs OM, AM', terminés aux points M et M'

qui correspondent aux valeurs c et de la variable u, ces arcs auront même

longueur; et un arc quelconque étant donné à partir du point 0, on peut assigner un arc égal porté à partir du point A. Si l'on pose

les points M et M' se confondent et leur position commune divisera en deux parties égales le quart AO de la lemniscate.

La variable adoptée par Fagnano n'est pas celle dont l'emploi est le plus élégant. L'équation de la lemniscate en coordonnées polaires étant

p= a y/2 CCS 2 w,

les points M et M' où se terminent les arcs égaux correspondent aux arcs '<j, et wj qui satisfont à la condition

y/2 COS'.), C0SW2=: — •

408. On doit également à Fagnano un théorème élégant sur la comparaison des arcs d'ellipse.

Si l'on cherche sur un quart d'ellipse un point M tel, que la distance comprise entre ce point et la perpendiculaire OP abaissée du centre sur la tangente soit égale

à une ligne donnée /, on trouvera deux solutions et par conséquent deux points M et M' tels, queMP = M'P' = /.

A et B étant les extrémités des deux axes, on a -

arc BM — arc AM = /.

Pour le démontrer, considérons l'équation de l'ellipse

On a

Si l'on pose MP — /, .r^ + r^ = /■^ on trouve aisément, en prenant r^ pour

inconnue,

;•» ^ /■■-•(rt^ +/>' -f- Z^ )+...= o.

Si donc / j et ri sont les rayons vecteurs de deux points M et M', ou a

/•^ + /i = «'+/»'+ /% et par conséquent

( A ) ^ i\ (h\ H- /-j di\ = / dl.

Or on a, pour une courbe quelconque,

' ds

as =^ r ^ \

'équation (A) peut donc s'écrire

c'est-à-dire

rf/-, dr, ,,

i\ -j- + i\ -T- = dl,

dst -+- ds, = dl,