LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

dSf et ds^ étant les déplacemenls infiniment petits des points M et M' lorsque / augmente de dl\ mais dt\ et dr^ sont évidemment de signes contraires, et il en est de même de ds^ et ds.^ considérés comme comptés à partir d'une même origine, en sorte que

*, = f/BM, (h,.^ ~ dkW.

donc

</BM - f/AM' = dl,

et en intégrant, comme BM et AM' sont uuls en même temps que /,

BM - AM' = /,

ce qui est le théorème de Fagnano.

Théorème de M. Cliasles.

409. Euler a résolu sur les arcs d'ellipse un problème plus général que celui de Fagnano. Il a donné le moyen d'obtenir une infinité d'arcs dont la différence avec un arc donné quelconque soit reclifiable, sans qu'il soit nécessaire, comme dans le théorème de Fagnano, que les arcs se terminent aux sommets de l'ellipse.

Nous donnerons seulement ici la solution élégante de M. Chasies qui repose sur le lemme suivant :

Deux ellipses homofocales élant données, si par un point de l'une d'elles on mène deux tangentes à l'autre, ces tangentes font des angles .égaux avec la normale au point d'où elles sont issues.

De cette proposition très-aisée à vérifier, M. Chasies déduit le théorème suivant : Si par un point M de l'une des ellipses on mène à l'autre des tangentes MT, MT',

la différence MT + MT' — TT' entre la somme des deux tangentes et l'arc qui sépare leurs points de contact est constante quel que soit le point M.

Pour prouver ce théorème, il suffit de faire voir qu'en substituant au point M le point voisin M, , la différentielle de MT + MT' — TT' est égale à zéro.

Lorsqu'en effet MT devient M, T, et MT', M, T'i , en nommant d l'angle que ces droites forment avec MM,, on a (I, 21)

dWï =MM, cose-TT„ <iMT' = — MM, cos(3 -hT.T',; donc

dMT+ dW T = T, T', - ÏT, = ^Tï',

et par conséquent

(/(MT + MT- TT' =:o.

La différence MT + MT'— ïT' est donc constante, et la différence de l'arc TT' avec tout autre arc compris entre les points de contact des tangentes issues d'un point quelconque de l'ellipse M est par conséquent rectifiable.

Méthode de M. Talbot.

410. M. Talbot a déduit d'une méthode fort simple un grand nombre de formules analogues à celles de Fagnano.

On a, quelle que soit la relation entre x et j,

/ X dr + i fdx ^ xy -\- C, si les deux variables sont liées par une équation symétrique qui donne

9 désignant la même fonction; on a, par conséquent,

I (f,{j-)dx+ I (f{x)dx=:xx-hC,

ce qui donne une relation entre deux intégrales de même forme que souvent on ne saurait exprimer ni l'une ni l'autre sous forme finie.