LIVRE SECOND - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

Considérons, pour en donner un exemple, l'équation

x'' — f ;r -f- I = o, et soient x^ et x., ses deux racines. On a

par conséquent

3Ci

Or donc

et

dXi \J ^ + dx., i/-î —- \fv{dxi + dx,).

Xi 4- Xi = V, dx, -h dx2 = dv ;

dx, \/'~^^ + dx, i/'-^^^ = dv v't

ou, en posant Xi = /-, x.^ = u^,

i dt\Ji -!- t''-h I du^fi+~u' = ^{u'+ fy -hC, t^ et u- étant les deux racines de l'équation liées évidemment par la seule relation

et l'intégrale exprimant (406) l'arc de la courbe

Cette équation établit une relation entre deux arcs d'une telle courbe et équivaut, il est aisé de le voir, au théorème de Fagnano démontré (406).