I. Cnlr

/fit.

donne

Ix, + Ix, = o,

donc

et, en intégrant,

dxi dx, ..

dxi dx-,

arc tangx, + arc langxj = const.

conséquence évidente de la relation x, 0:^ = 1, qui montre que la constante est

égaie a -• " 2

415. L'inconvénient de cette méthode est évidemment de faire connaître des théorèmes dont la forme plus ou moins curieuse ou intéressante seuible pioduite par une sorte de hasard, qu'il est aisé néanmoins de diriger dans une certaine mesure.

Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir une propriété de l'arc de parabole représenté par l'intégrale

j dx y/i + x^

Égalons \/i -h x^ k un polynôme entier contenant un paramètre arbitraire, et posons, par exemple,

( Al ) \/ 1 + .r^ = .r' + i>x -t- I .

L'équation est du troisième degré et admet trois racines a?,, ajj.a-j; on a évidemment

dx, ^i + .r J -f- dx, \Ji + xl + dx, \/'i + xl=^\ x^ dx + v\ x dx +\ dx, et par conséquent

{ dx, v/i + a:? -+- i dx, \Ji -\- x\^ I dx,^i + •^s=\'3" + / ''/, ^'^^ '^y.^' Mais l'équation (A) débarrassée du radical est

x' -+■ 2 vx' -!- ( f ^ + I ) .r 4- 2 c = O ;

par conséquent