LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

y — ^ — — ) >^'=i2C' — 2, y X ax =: 2 c dv, I v\ X dx =^ 17. v'dv = — , \ .r :

On a donc

/ dx, v'i -+■ ^{4- / dxi\J i -\- x\+ l dx, y/i + xl=z— iv + C, 1-' t- */

et il en résulte une relation entre trois arcs de parabole. Si l'on prend en effet deux valeurs ç», et ^2 de v, et que x,, x^, x^ x\, x\, x^ soient les racines correspondantes de (A), on aura

dx \/ 1 -\- X' -+- I dx ^i + x^-h I dx ^i +X'' = i{v, — i',],

relation entre trois arcs de la parabole dont l'équation est '

416. Cherchons ei'ifin une relation entre des arcs d'ellipse, et posons pour cela

L'équation équivaut à

a?' + vx^ ■+• ( — -y — f ' — i] X — f = o,

et, à chaque valeur de i>, correspondent trois racines a?,, x.^, x^. On a évidemment

Mais la théorie des fonctions symétriques donne

> a;' = v' +2, > X (/a; =r V dv, > a: = — f ,

\ rfj; = — rff , -/ X d-^ + / dx:= e' dv,

donc

Tj ./' — «'^Î Tj /i — e'ar' r, Ix — é'x

et en donnant deux valeurs a v et faisant les intégrations entre les racines qui leur

correspondent, on obtient ainsi une relation entre trois arcs d'ellipse.