Soit à intégrer

x"'^' dx I -f- X'"

m et n étant deux nombres entiers tels, que 2« soit plus grand que m. Les racines toutes inégales de l'équation

sont données par la formule

cos ^ '— ± J— I sin * -' z,

■in 2rt

OÙ il faut attribuer à k toutes les valeurs entières depuis i jusqu'à n. On a. par

conséquent,

X'"-' -Ti A*

i+^r^"^ ^ (a/r— i)7r , . (?./f— iirr

y/I sin — -

/•=! X — cos

X — COS h \j — I sm

où l'on a (19:

cos (m — i) h V — I sinim — I —

2« 'in

*~ r (27t — l)(2/,'— 1)7: I . (2« — I)(2/C — iIttÏ

2re cos h v'— I sin '^ — ■

I r mT[{7./f — i) , . mr.iik — i)T

= -cos ^ ' + J—\ sin ^ U

cos ( m — I ) î 1/— I sin OT — I ) ^ '—

"~ (" (2w — i)(2/r — 1)71 , . (2re — i)(2/r — i)7T

2w cos 5^ V— 1 sin —

L 2« ' in

I r WTrfaA- — i) , . /n7r(2/i- — 1)~| ^

= cos J—\ sin ^ h

et, en réunissant les deux fractions écrites sous le signe ^^

W7:(2/.— i)r (2A-— 1)7:"] .^ (2/1 — 1)7: ^.^ »?7:(2yf — i)

in^

sin sin

.r™""' IV^ 2« 2/1 2/1 271

/=! hp — cos + sin' —

in in '

et par conséquent (21)

/x-'-'dx I v^ 7n7r(2A- — i) , r ■ (2* — ijt: , = > cos ' l \ i — '>x cos ^ ~ h X- I + x'" m '^ 2/1 1 2/1

' = " , , . ar— cos

sin

- > sin arc lang — -, , —

/t ■<" m . [ik — i,7r

On trouvera de même, et en supposant toujours m < 2/î,

( — 0""^' v^ hniT. , i k- \

+ — - > ces / i4-2^cos hx'l

'7.n Zrf « \ n

'="-1 , X + ces

A=în+l

rx"-'dx —1'"+' I -^ m:: 2/r — 1 , a/r — i t: , 1

I r-r-,— — ll+x) — > ces — -^^ -'/ I — aarcos' ■+x'\

(2/f— Or

* = !« + ! a: — CCS —

2 v^ . m-AiK — I 2/1 + 1 H • > sin ; arc lang —-. t ,

2/1+1 ^Ld 2/1+1 ° . 2A-— I 77

*=j sin ;

fx"-'dx I ,, , (—1)'"+' ^ /n-(2/r — i),r (2/c — i):: 1 / Tx; = l{i—x)+^ '- — > ces — - 'l\i + 7.xcos- ' — hxM

J 1 — X'"+' 2«+I ^ ' 2/1 + 1 ^ 2/t + I L 2rt+I J

'— ' , ' ^ + cos^ = ^-')'^

2(i"'+i —, mizi-ik — i) in >, sin arc tang -, — ,

2/î + I JiJ 2/t+I . 2/(-— I

* = ! sin —

Simplification de la méthode dans des cas particuliers.

25. La méthode générale suffit dans tous les cas pour intégrer une différentielle rationnelle, mais il est souvent plus simple d'éviter la décomposition en fractions simples et d'opérer directement sur la différentielle proposée.

Soit par exemple l'intégrale •

En posant x'- = z, elle devient

xdx

-arc tang 2,

et par conséquent

/xdx ; = arc langer'

I + ir'

26. On peut, dans un grand nombre de cas, appliquer des formules de réductions successives analogues à celles qui nous ont permis de calculer

r dx

Considérons la différentielle

x"-' dx(a+ bx"]i',

qui, lorsque m, ii, p sont des nombres entiers positifs ou négatifs, appartient à la classe des différentielles rationnelles qui nous occupe actuellement. Il existe pour la réduire dans tous les cas des formules qui, lors même où elle est rationnelle, , permettent de l'intégrer plus simplement que par l'application des méthodes générales. On a

I x"^ ' dx {a + bx")!' = I X'"-" x"~' dx{a+ bx" y,

et en remarquant que a;""' c?a:;(a+èa:^'/ est la différentielle de -j~ — — {a-^-bx")'''^' , on a, en intégrant par partie,

/^m—n YYl ïl C

a;"'-' dx{a-\- hx")? = -;-; : [a + bx"y^' j- — r / x'"-""' [a + bx")''-^' dx. ^ ^ ^ nb[p-\-iy nb{p-hi)J

Remplaçant dans le second membre {a -+- hx^'f* ' par (a + bx")'' a + (a -+- bx")''bx" et faisant passer dans le premier membre l'intégrale semblable à celle qui s'y trouve déjà, on trouve

1 / x^-'dxia + bx'-)!'— — ^'--^i: — ' . j \ X"'-"-' {a + bx")Pdx.

J {m + np}b m + np b J

On a aussi évidemment

(2) i x"-' dx [a + bx")i' ^ a lx''-'dx[a -\-bx'')F-' + b j x'-^"-' dx{a + bx")P-\

et en appliquant à la seconde intégrale du second membre la formule de réduction (i), on trouve

(3) fx—' dx(a + bx")r=: ^'L±J^^1 + ^/i T^».-. dx{a + bx")''-' dx. J in + np m + np J

Les deux formules (i) et (3) résolues par rapport là l'intégrale qui figure dans

LIVRK PRESIIER. — INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 28

le second membre donnent, par un simple changement de lettres,

x°'-'in + bx")Pdx= — (m + n + np) — l x''+''~'{a+ bx")i' dx,

ma '^ ' ma J ■

(5) Cx'-'ia-,-bx^ydx = -^l^^±^'r- + "l±^^lP±lï fx^-'ia + l,x^y^'dx.

Si l'on applique les formules de réduction (i) et (3) à l'intégrale qui figure dans les seconds membres des formules (4) et f;')), on trouve

(6) l X"—' {a + bx")Pdx — ~ [n + bx")!' ^ i x"-<-'-' (a -{- hz" ]■■'-' dx,

r ., 7 17 x''-'''a + bx" )!'''' m — n /* , , ■

7 1 x'"-'(fi+ bx")Pd.r~ j' — — l x"-"-" (n + bx")''-^'.

' J hn[p-i-i) i,n{p+i)J ^ ^ '

Les applications de ces formules sont exlrèmcment nombreuses. 27. Supposons d'abord tz = i , en posant a-h h.x ^=-- z, on aura

et cette formule, dans laquelle la seule valeur zéro est interdite à m, permettra de simplifier le calcul d'un grand nombre d'intégrales. On a. par exemple,

, , fjl^ ' '^ r<^^

J x'"'^' z aiHx" a I X'" z

et, en remarquant que

r dr

,} xz '

on en déduit

rdx ^ / ^ • ^ X- z a' X nx

r dx h' , z * h I

J x' z a- X a' X a nx'

J x* z a' X «" X 3. rt' X- 3 ax^ '

Ç dx____b' z b' b' b I

,/ x'-z a' X a'x 7.0," x- "id'x^ l^ax'^

Ç dx b^ ,z b^ h' h' b

«■•.r y.u'x' 3n'x' /^a'x' 5ax'

et ainsi de suite.