ÉVALUATION DES SURFACES COURBES

Surfaces de révolution .

418. La portion d'une surface de révolution comprise entre deux sections perpendiculaires à l'axe est représentée par une intégrale simple. On peut en effet assimiler la surface comprise entre deux cercles parallèles infiniment voisins à un tronc de cône engendré par l'élément de la courbe méridienne tournant autour de l'axe.

Si l'on suppose que l'arc de courbe plane MN situé dans le plan YOX tourne au-

tour de l'axe des X, le tronc de cône engendré par l'élément ds a pour expression

o.Tiy ds, et la surface engendrée par MN est représentée par

2r I yds.

les limites étant telles que tous les éléments de l'arc MN figurent dans l'intégrale.

419. Surface de la sphère. — Considérons la sphère engendrée par la révolulioTi autour de l'axe des X du demi-cercle dont l'équation est

x-'+y-'—Vi\

On a

J, = rf^V/l + (|j)' = f/.*y I+^a-^'^*'

et par conséquent la surface de la zone comprise entre deux sections correspondant aux abscisses a et b est

produit de la circonférence d'un grand cercle par la hauteur de la zone.

420. Surface de l'ellipsoïde de révolution. — Considérons l'ellipsoïde engendre par la révolution autour de l'axe des X de l'ellipse qui a pour équation

a? y" + ¥ X- — a' b\ On a

/ Ti—, b K / a' — {a' ~ b') —

dsz= dx \^ \ -^ — — ^ = —

V «' y ay

dx.

et par conséquent la surface comprise entre les sections qui correspondent aux abscisses p et q est, en posant a- — b^ =: c'^ et - = e,

r.bef la} a} . e

= [xi/ ^ H — -.arc sm -

Si l'on prend pour limites zéro et a, on obtient, pour la surface du demi-ellipsoïde,

, / , arc sin(?\

nab ( y'i — e' H 1 •

421. Sur/ace engendrée par une cycloide. — Les équations cjeia cycloïde sont

On en déduit

x= a{u — sin u),

y 7^ a{l — f.OSU^;.

ds = 2a sin - u du,

et la surface cherchée est

47ra' / (' ~ cost4)sin - udu=^ 87r«' / sin'- udu. Pour avoir la surface engendrée par la demi-cycloïde, il faut faire varier a entre