LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, zéro et n. Or on a

1 s'in^ - u du = 2 j sin'tprf<p:

et par conséquent la surface totale engendrée par la cycloïde est -^na

Évaluation (V une surface quelconque .

422. Pour évaluer une surface quelconque, il faut la décomposer en éléments infiniment petits dont la courbure soit négligeable et que l'on puisse par conséquent calculer comme s'ils étaient plans. On doit, dans chaque cas, commencer par projeter le contour-limite- de la surface à évaluer sur un plan qui sera, si l'on veut, celui des XY. La surface de cette projection sera décomposée en éléments infiniment petits. Soit d(A l'un d'entre eux et cIg la portion correspondante de la surface courbe; si 7 est l'angle formé par le plan tangent de da avec le plan des XY. on a

dacosy =; </&>, et par conséquent

, dùi da =

ces y

Si la surface à évaluer est donnée par son équation

= tp(^, j)

, dz dz

on a, en posant ^ = /), ^. = (/'

cosy =

et si l'on prend pour l'élément d'o le rectangle dxdy compris entre deux parallèles à l'axe des X distantes de dy et deux parallèles à l'axe des Y distantes de da-, on aura

d<7 = dx dy y/i -\- p^ -\- gf%

et la surface sera la somme des éléments d<j correspondant à l'intérieur du contourlimite.

On peut, pour sommer les éléments, réunir d'abord ceux qui correspondent à la portion du plan des XY comprise entre deux parallèles à l'axe des X dont les ordonnées sont j et j-i- dy. Cette somme est évidemment exprimée par l'intégrale

simple

dy I dx \l

dans laquelle on prendra pour limites les deux valeurs de x qui, dans l'équation de la courbe qui sert de projection à l'aire cherchée, correspondent à la valeur choisie de j. Le résultat de cette première intégration sera le produit de dy par une fonction ^de la seule variable r, et on devra l'intégrer entre des limites correspondant aux valeurs extrêmes de y.

Soit AMNB la projection de la surface à évaluer, AR, BS les tangentes extrêmes parallèles à l'axe des X, de telle sorte que OR = « et OS = & soient les valeurs

entre lesquelles peut varier Y, l'expression de la surface projetée sur AMPN est, d'après ce qui précède,

dy j dx \Ji