LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

considérée en éléments compris entre deux rayons vecteurs faisant entre eux l'angle Jw et deux cercles de rayons p cl p -{-dp décrits de l'origine comme centre. Un tel élément a évidemment pour mesure

p dcù dp;

l'élément correspondant do est

p f/w dp y' I + p'' + ^'.

I.'intégration de ces éléments peut se faire de deux manières. On peut d'abord intégrer par rapport à p en considérant w comme constant et réunir tous les éléments qui correspondent à deux rayons vecteurs infiniment voisins; la somme des tranches ainsi obtenues, dont chacune contient d'j) en facteur, s'obtiendra par une seconde intégration. On peut aussi intégrer d'abord par rapport a w en laissant p constant et obtenir ainsi l'expression d'une zone projetée entre deux cercles infiniment voisins, puis, par une intégration relative à p, obtenir la somme de ces zones.

OA, OB étant les tangentes extrêmes, ',>,, o)., les angles qu'elles forment avec

OX, la surface projetée sur APBQ est ainsi représentée par

•M. /»OQ

'f/w / pdp\/i + p' + q';

w, ^OP

ou encore, en nommant p, et p., les rayons des cercles décrits de l'origine comme centre et tangents à la courbe APBQ,

/ pdp j f/w v'i + p'-hq\

lOP et OQ étant dans le premier cas des fonctions de 'jj, et MOX, NOX dans le second des fonctions de p.

Lorsque la projection de la surface à évaluer comprend le point 0 dans son in-

!• Cale. inl.

39i DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

térieur, l'expression change de forme et la surface est évidemment représentée par

R désignant le rayon vecteur qui correspond à l'angle w,-

424. Problème de Viviani. — Soit ABA'B' le grand cercle qui termine un hémisphère. Si sur deux rayons opposés OA et OA' comme diamètres on décrit des

cercles, les cylindres droits ayant ces cercles pour hase détacheront de la demisphère des portions que nous allons évaluer pour démontrer, conformément à un énoncé célèbre de Viviani, que la portion restante, exactement carrable, est égale au carré du diamètre. La portion de surface sphérique projetée sur le cercle dont OA' est le diamètre a pour expression

J(*1 /.DP

^d(à \ prfpy/i 4-/>'4-g'; 0 t/O

Vi -\- p'^ + q'^ , inverse du cosinus de l'angle formé par le plan tangent à la sphère

avec le plan de la figure, est égal à •■ • On a d'ailleurs *^ » ' ® y/R'— p'

OP = Rcos6), et l'intégrale (i) est par conséquent

= 2/ Rf/6)(R— Rsinco)=7rR=— 2R=; Jo

la surface projetée sur les deux cercles est évidemment double, elle est donc 27rR^ — 4R^> et si on la retranche de la demi-sphère, il reste 4R^-