OH = R

OG

R' sin'&j + R' cos'A cos't.)

Rp

dp—— Rv^R'— pS

VR' - p' r"" Rp / „ . /n. R'co

cos'A

R'sinojsinA

cos'A cos'w y/i — cos'&jsin'A

.AOB /.OH Rp

/.im Kp C

^^^ siiiwsinA

^i — cos't.) sin'A

lais on a

arc sin{coso sinA) = A,

R' are sin (coso) sinA)J".

et, d'après une propriété connue des triangles sphériques rectangles,

arc sinfcosAOB sinA) = arc sin(cosC) = - — C.

L'intégrale qui représente la surface du triangle se réduit par conséquent à

c'est-à-dire

A+C-t-^-7:)RS

ce qui s'accorde avec l'expression connue. Un triangle quelconque pouvant se partager en deux triangles rectangles, ce cas particulier équivaut évidemment au cas 'général.

Emploi de coordonnées curvilignes .

426. Le choix des variables qui représentent les points d'une surface peut être varié à l'infini. La. surface étant considérée comme connue, il faut, pour y déterminer la position d'un point, assigner les valeurs de deux cordonnées u et v, dont la définition peut être d'ailleurs absolument arbitraire. A chaque valeur de l'une des coordonnées correspond alors sur la surface une ligne déterminée, et le point qui correspond à deux valeurs assignées de m et de t» se trouve ainsi défini par l'intersection de deux lignes. La distance de deux points infiniment voisins est, comme on l'a vu (I, 123), donnée par une formule de la forme

(a) ■ • ds'' = kdiû+i^dudv + Qdv\

A, B, C étant des fonctions de m et de ^ faciles à déterminer dans chaque cas.

Prenons pour élément de la surface le parallélogramme MNM'N' compris entre les courbes qui correspondent aux coordonnées u, u-+- du, v, v + dv, u^iv étant

les coordonnées du point M, et a-l- c?«, (^ + fi?i' celles du point N'; les côtés MN, MM' correspondant, l'un à la variation du de u sans que v varie, l'autre à la variation dv