LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

de i> sans que u varie. Jls sont représentés, en vertu de la formule (2), par du y/À et dv^C. Le parallélogramme infiniment petit MNM'N'. double du triangle MNN', est par conséquent représenté par

</t = ^AC A< ^A' sinN.

Pour calculer le sinus de l'angle N, menons la diagonale MN', et remarquons que l'on a dans le triangle ^INN'

MN'' — MN'+ NTÏ'' - 2MN NN' cosN.

En remplaçant MN et NN' par leurs valeurs

MN' = A diû 4- C f/c ' — 2 v'AC cos N du dv, et la comparaison avec (2) donne

y/XC cosN = B,

cosN == -^z^ 1 v/AC

sinN = -^ v'Âtr^^BS

v'AC ■

et l'aire dç est par conséquent

(3) f/(7 = </«</cv/AC — B-.

Pour intégrer l'élément d(r, il faudra faire d'abord une intégration par rapport à M, puis par rapport à v, en adoptant des limites qui dépendront de la forme de la ligne qui limite le contour à évaluer.

427. Lorsque l'équation d'une surface est donnée sous la forme

et que l'on Veut prendre p q\. q pour variables, il n'est nullement nécessaire de calculer l'élément ds'^ d'une ligne tracée sur la surface, et l'on peut plus directement obtenir une expression équivalente de l'élément de surface, complètement identique d'ailleurs quand on développe les calculs.

Considérons trois points infiniment voisins correspondant aux valeurs />, y; p + dp, q; p, q + dq des variables. Les valeurs correspondantes de x,y, z seront

dx , dy . dz ,

^+^dp, r+j^dp, z + ^-^dp,

dx , dy , dz ,

^+d^dg, r+j-^dq, z+^dq,

et le triangle formé par les trois points a pour projections sur les trois plans coordonnés

I f dx dy dx dy\ , ,

ï7ld-p)''P'^'i^

2 \(/^ dq dq I [ dy dz dy d

-,df,)dpdq.

2 \ (/p dq dq

1 /dz dx dz dx\ , , 3.\dp dq dq dp) ' ^'

Le triangle lui-même, égal, d'après un théorème bien connu, à la racine carrée de la somme des carrés de ses trois projections, est représenté par