LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

voisins est par conséquent

Appliquons cette formule à la recherche de l'aire d'un triangle sphérique.

Prenons pour pôle l'un des sommets P du triangle PBC. Soit I l'intersection de BC avec l'équateur, et supposons que le méridien principal, à partir duquel on

compte les angles et qui est arbitraire, coupe l'équateur à un quadrant de distance du point I, l'élément de surface étant

K'ahiOdB d^.

Intégrons d'abord par rapport à Ô, entre les limites indiquées sur la figure, Ô = o, e = PG. On a

J^PG R^ sine de rf^l^ = R' d'],{i — cosPG) = R= d']i{i — sinGK). Q

Telle est l'expression de l'aire infiniment petite comprise dans l'intérieur du triangle entre deux méridiens infiniment voisins PG, PG'. La surface du triangle est par conséquent, en nommant tj/f, l'angle BPA et iJ/„ + P l'angle CPA,

S— i R'J(i;(i — SinGK )=:R'P- I R'rf|sinGK;

mais le triangle rectangle GKI donne

sinGK sinIK cosij'

-pr>

sini sinG sinG ' cosG = cosIKsinI = sin| sinl.

En différentiant la seconde de ces équations, on a (8) — sinGc?G = cosi|'Sinlrf4'>

et les deux équations (6) et (8) donnent

sinGK(/'J;=- JG;

la formule (5) devient par conséquent

S=R=P— / R^<^G = R'[P-(7r — B-C)] = R=(P + B-t- C-tt),

ce qui est la formule connue.

429. Surface carrahle sur la sphère. — L'expre.'sion d'une aire spliérique étant

f fvi' sine clOd']>,

on peut toujours effectuer la première intégration, et l'on a

jR' smQde — — R' CCS B + C,

les limites étant deux fonctions de f\i que la courbe qui termine l'aire cherchée fait connaître. En prenant, pour représenter cette courbe, l'équation fort simple

on trouve un résultat remarquable.

Si PA est le méridien principal et PAB un triangle trirectangle, la portion de

courbe comprise dans l'intérieur de ce triangle étant PMB, l'aire comprise entre elje et le côté PB a pour expression

f R'd'^if sinef/6= r'R=f/<];(i-cos|)='^'-RS et si l'on reproduit la même figure dans les quatre triangles trirectangles qui