LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. m

forment l'iiémisphcre, l'aire comprise entre les courbes PiMB sera

27rR'— 4R%-

elles laissent donc en dehors d'elles la surface carrable 4R^- C'est sous une autre forme le théorème de Viviani, et il est très-aisé de montrer l'identité de la courbe dont l'équation est 0 = ^ avec celle qui (424) se projette sur l'équaleur suivant un cercle de rayon R.

430. Surface de l'ellipsoïde. — La détermination de la surface de l'ellipsoïde est impossible sous forme finie explicite. On peut seulement effectuer une des deux intégrations auxquelles conduit la méthode générale. Les géomètres sont souvent revenus sur cette question dont nous donnerons plusieurs solutions.

Soit

l'équation d'un ellipsoïde. On peut déterminer les points de la surface par les valeurs de deux variables 5 et ij; telles, que

;c ^-: «sinô cos<\i,

' y= bs'\n9 sirn]',

: = fCOsO.

Ces variables, dans le cas où l'ellipsoïde devient une sphère, coïncident avec celles que nous avions adoptées (428j, et il faut, comme dans le cas de la sphère, pour obtenir tous les poinis de l'ellipsoïde, faire varier 9 de zéro An,et<^ de zéro à 27r. On déduit des équations fio)

itx = a ces 0 CCS 'b (19 — a sin 6 sin ']> d'^ ,

dy = h cos9 sin ij/ dB H- b sinScosiJ; d'}^,

dz =— c&mO dB,

ds^ = dx^ + dj' + dz^ = (/6^(a=cos-5cos^4/ + 6-^ ces' 6 sin-' '1 + c'sin^ô)

+ </(|>'(rt=sin^9sin'4' + 6'sin"9 cos'4')+ -îdQ d']f[{b''— a'] sin 6 ces 9 sin 4< cosi|>)],

et l'élément de surface do est par conséquent

=^ do dp tJ[cos' e {a' coti' 'fi -f- A' sin' ^) -h c'ain'6] »in' 0[a' »in'/.-|- Î'cob'^] — (*'— a')' sin'ffcos'fi sin'^ cos'^,

ou en réduisant

d<7 = abc sin 0 d9 dà