I. Ca/r. i/lt

9 , sin»9 cos^ sin'0 sin'|

et par conséquent la surface totale S est représentée par

'6 siiTôcos'ij; sin'e sin'4^

et l'intégration par rapport a 0 peut aisément s'effectuer.

•431. Si nous adoptons pour coordonnées les paramètres des surfaces homofocales, hyperboloïde à une nappe et hyperboloïde à deux nappes, qui passent par chaque point de rellipsoïde considéré, en adoptant la notation (I, 128),

et par conséquent la surface de l'ellipsoïde peut être représentée par

JJrfprfv(v'-p')y/^^^

et pour représenter le huitième de la surface, il faut étendre les intégrations par rapport à p de zéro à b et par rapport à v de A à c.

Emploi des coordonnées spkériques pour une surface fjuelconrjue.

432. On peut, pour évaluer une surface quelconque, décrire do l'origine des coordonnées comme centre une sphère de rayon égal à l'unité, et la décomposer, comme (428), en éléments dont l'expression générale sera s\i\Q dû d^; en prenant pour élément correspondant de la surface considérée l'élément intercepté sur elle par la pyramide ayant pour sommet l'origine et l'élément sphérique pour base, l'expression de cet élément est évidemment

ces y

y étant l'angle formé par le rayon vecteur p avec la normale à l'élément de surface.

Cette méthode a été employée élégamment à la détermination de l'aire de la surface, lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les plans tangents d'une surface donnée.

On a vu (I, 17) que le plan tangent d'une telle surface est le même en chaque point que celui d'une sphère ayant pour diamètre le rayon vecteur /• mené de