LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS
l'origine au point correspondant de la surface sur les plans tangents de Ia(]uelle on abaisse les perpendiculaires. La fraction -^, qui figure dans l'expression de
la surface élémentaire, peut être, par conséquent, remplacée par le produit /->/-, et l'élément de la surface cherchée est représenté par
p/'sinQ dO d<i^,
5 et d/ désignant les coordonnées angulaires du rayon vecteur p.
Supposons, par exemple, que la surface donnée soit un ellipsoïde ayant pour centre l'origine des coordonnées; en nommant les axes a, h, c et >., [x, v les angles formés par la normale au point dont les coordonnées sont x, y, z, on trouve aisément
pr= y/a* ces' X -f- 6' ces- p. -l- c'cos'v; c'est-à-dire, en introduisant les angles 0 et ^,
pr = \/a* cos'9 -f { 6' sin^-^ + c' cos"]i) sin'O, et l'aire totale de la surface proposée est, par conséquent,
- j sin 9 dO rf| ^a' cos'9 + (b' sin^i); -Te' cos^iji) sin'ë,
Sr:=
c'est-à-dire (430) précisément la surface de l'ellipsoïde dont les axes seraient — »
ac (ib
T- et —
Introduction des rayons de courhnre dans l'expression de la surface.
433. On peut, pour représenter les points d'une surface, adopler les deux angles qui définissent la direclion de la normale en ce point. Menons par l'origine des coordonnées rectangulaires une parallèle à cette normale. Soit 0 l'angle qu'elle forme avec l'axe des Z, et ^ l'angle dièdre formé par le plan des ZX avec le plan conduit par elle et par Taxe des Z. L'élément de la sphère de rayon unité évalué au moyen des angles 5 et 6 est (428) sinS c?5 di^. Le rapport de cet élément à l'élément correspondant de la surface considérée est (L 722) la courbure .t-jt- de cet élé-
UKMit, en nommant R, et R, les deux rayons principaux de la surface. L'élément
itU DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,
de surface est donc
et la surface totale est représentée par
TTr, Rosine rf&rf|,
la double intégration s'appliquant à toutes les valeurs de 0 et de t|^ qui répondent aux points de l'aire considérée. S'il s'agit d'une surface fermée et convexe, on devra, pour l'avoir tout entière, intégrer entre les limites 0 = o, Q —n, tj^ = o,
ij^ = 271.
434. Appliquons la formule précédente au calcul de la surface totale d'un ellipsoïde.
On a (I, 634), en adoptant les notations habituelles,
[i + jp-hq') rt — «'
L'équation de l'ellipsoïde est
On en déduit
ci' IP c'
pz
I P' zr a- & c'
zt
par suite
et
R.Rî
pq zs
Cr C'
