L'expression du volume, que l'on écrit souvent

z dx dy.

41 i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

peut être considérée sous un autre point de vue qu'il importe de connaître. On peut regarder le produit zdxdj comme l'expression générale de l'un des éléments dont la somme forme le volume cherché, zdxdy est en eft'et, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second, la portion du volume cherché détachée par un parallélipipède parallèle à l'axe des z ayant pour base le rectangle infiniment petit dxdy, dont les côtés dx et dy sont respectivement parallèles à l'axe des X et à l'axe des Y. Le volume total est la somme des parallélipipèdes analogues dont les bases composent la base donnée du cylindre. On peut, pour faire cette sommation, réunir d'abord tous les parallélipipèdes compris entre deux plans infiniment voisins parallèles à ZY et ayant pour abscisses x et x + dx. Celte première somme, qui constitue la tranche cylindrique considérée dans la démonstration précédente, est

dx I z dy,

les limites étant données par les valeurs extrêmes de y qui correspondent à l'abscisse x\ pour faire la somme de ces tranches, on intégrera" ce premier résultat entre deux limites constantes représentant les valeurs extrêmes de x, et l'on retrouve ainsi la formule

V=: f'dxr'zdf.

446. Lorsque la base du cylindre et la surface qui le termine prennent des formes plus compliquées, la formule précédente doit être quelquefois modifiée. Nos démonstrations sujtposent en effet qu'à chaque abscisse x correspondent deux points seulement de la base. Si, par exemple, une parallèle à l'axe des Y coupe la base du cylindre en quatre points P, Q, R, S ayant pour ordonnées j',, jj, J3, j,,

il faudra, pour obtenir tous les éléments de la somme cherchée, faire deux intégrations; la première de y, à jj» la seconde de ^3 à j,. Si l'on avait six intersections, il y aurait trois intégrations à faire et ainsi de suite.

447. La détermination d'un volume de forme quelconque est implicitenieiil comprise dans ce qui précède. Quelle que soit en effet la forme de la surface limite dont nous supposons l'équation connue par rapport à trois axes rectangulaires, on