LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. US

commencera par déterminer le cylindre circonscrit parallèle à l'axe des Z et dont la base sur le plan des XY nous fera connaître la portion de ce plan sur laquelle se projette le volume cherché qui deviendra la différence de deux des cylindres dont nous avons étudié l'expression. L'équation de la surface étant

les points de contact avec le cylindre circonscrit sont ceux pour lesquels la normale étant perpendiculaire à l'axe des z, on a

(IF dz

L'élimination de z entre les équations (ij et (2) donnera l'équation du con tour apparent qui sert de base aux deux cylindres dont la différence est le volume cherché. En nommant z^ et s, les valeurs de z qui correspondent aux coordonnées X et y, on a évidemment

V= fdx Çdyiz.-

les limites étant déterminées d'après la forme du contour apparent, comme il a été dit (443).

Si les parallèles à l'axe <les z coupaient en plus de deux points la surface qui limite le volume, les intersections seraient toujours en nombre pair. Soient z,, z^, :;,, z^, z^, ï„ leurs ordonnées, l'élément de volume serait alors

{Zf, — Zi -\- z, — z^ -\- Zt — z.) dx dy,

et l'intégration se ferait de la même manière que dans le cas précédent.

448. Le choix des surfaces élémentaires dans lesquelles on décompose la projection du volume sur le plan des XY est entièrement arbitraire, et les éléments rectangulaires dxdy peuvent être remplacés par d'autres qui, dans certains cas, donneront lieu à des calculs plus simples.

Il est souvent commode par exemple d'employer des coordonnées polaires. En menant par l'origine dans le plan des XY une série de rayons vecteurs coupés orthogonalement par une série de cercles, l'élément infiniment petit compris entre les rayons vecteurs correspondant aux angles w et w + </w et les cercles correspondant aux angles p + dp a pour surface

p rfw </p.

Le volume du parallélipipècle dont il est la base est donc

z,) p do) dp.

Eli nommant z.^ et z, les ordonnées des deux points où la parallèle à l'axe des Z menée par un point de cet élément j'encontre la surface qui limite le volume, on intégrera l'expression (3) par rapport à p en considérant w comme constant et entre deux limites qui seront les valeurs de p qui, dans l'équalion de la courbe limite, correspondent à la valeur considérée de w. On obtiendra ainsi

do) 1 [Zj —

z,)pdp,

et cette expression, qui ne contient que la variable oj, sera intégrée enire deux limites constantes qui sont les valeurs extrêmes de cet angle.

449. Considérons, pour y appliquer lainélbode précédente, le volume détacbé dans une sphère par un cylindre droit ayant pour base un petit cercle décrit sur l'un des rayons comme diamètre.

Soit 0 le centre de la sphère et OB le rayon qui sert de diamètre au cercle de

base du cylindre dont nous prendrons le plan pour celui desXY. L'élément pdr,) dp est évidemment la base d'un parallélipipède dont la portion comprise dans la sphère a pour hauteur 2 y'R^— p^ et l'élément du volume cherché est par conséquent

Intégrons d'abord par rapport à p. Si w désigne l'angle du rayon vecteur avec le diamètre OA, les limites seront évidemment o et Rcosoj; on a donc pour la partie du volume cherché qui se projette sur le secteur POP' :

XR COS M r- „ jl -I R COS II 2

v'R'-p'pt/p = û?« - -(R'p')' =-(R'-R^sin'«)</w.

R'sin'w remplace ici (VR' — R^cos^w)^ et doit être pris en valeur absolue.