LIVRE SliCOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. HO

(lireclions possibles, p étant supposé essentiellement positif, il faut évidemment faire varier \|> de o à 271 pour obtenir tous les points d'un plan passant par l'axe des Z, puis 5 de o à n seulement, pour que, dans ce plan, le rayon vecteur prenne toutes les positions possibles.

Le volume d'une splière de rayon U, ayant |)oui' centre l'origine, sera, par exemple,

Emploi d un système (laelconquc de cooidvnnées.

451. Si l'on adopte, pour représenter les points de l'espace, les valeurs des trois paramètres a, fi, 7, définis en fonction des coordonnées rectangulaires x, y, z,

à une valeur donnée de l'un des paramètres correspond une surface, et les points se trouvent définis par l'intersection des trois surfaces qui s'y croisent en découpant l'espace en parallélipipèdes infiniment petits. Il faut, pour évaluer un volume, adopter pour élément le parallélipipède infiniment petit compris entre les surfaces correspondant aux valeurs 'y., c/.-\-dot, p, j3 + d^j, 7 et y -h dy des trois paramètres, et dont il faut d'abord trouver l'expression.

Soit MNPQ ce parallélipipède, la face MPQ appartenant à la surface qui répond à la valeur a du premier paramètre, MQN à celle qui correspond à /3, et MNP à

celle qui correspond à 7. Les trois laces opposées correspondent aux valeurs « + da, ft, -H- (/jS, 7 + d'/ des trois paramètres; le parallélipipède étant infiniment petit et la courbure de ses faces insensibles, on peut le traiter comme un parallélipipède à surfaces planes égal évidemment à six fois la pyramide, dont les

sommets sont M, N, P, Q : ces sommets ont pour coordonnées

dx ,

r-lfj-

Z+ -rda.

dx ,„ dp^^'

dx ,

Ty^y'

dy ,

dz dy

da.,

da'

dz d'à

dy'

et par conséquent, d'après une formule bien connue qui exprime le volume d'un tétraèdre en' fonction des coordonnées de ses sommets, l'expression du volume MNPQ est égal à

dad^dy dx

dx Ty'

c'est-à-dire (I, 71) au produit de ^ - par le déterminant fonctionnel de x,

y, z, considérés comme fonction de a, /3, y, ou, ce qui revient au même,

à ^P— divisé par le déterminant de a, /3, 7, considérés comme fonctions

de X; y, z. Le parallélipipède égal à six fois le tétraèdre s'obtiendra en supprimant le diviseur 6.

Pour sommer les éléments qui composent un volume donné, il faudra, comme dans le cas précédent, faire varier successivement les trois variables. On intégrera d'abord, par exemple, par rapport à a, en considérant /3 et 7 comme constants, et l'on obtiendra ainsi la portion de l'espace formant un canal infiniment petit, à section quadrangulaire, compris entre les surfaces qui correspondent aux paramètres/3, /3 + c?/3, y, yH-rfy. Les limites de celte première intégration seront deux valeurs de a. exprimées en fonction de j3 et de y Le résultat sera do la forme

d^dy^(Ç,,y).

On intégrera, en second lieu, par rapport à /3, en traitant 7 comme constant, et l'on obtiendra ainsi la portion de volume comprise entre les surfaces correspondant aux valeurs 7, 7-1- (h/; les limites seront des fonctions de 7, et le résultat sera de la forme

dyr.[y).