LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. m

On intégrera enfin pour avoir le volume total entre deux limites éj^alos aux valeurs extrêmes de 7, et l'on aura

= Çdxd'^dy

dx dy dz

de de/. do.

dx dy dz

dp" ^' ^'

dx dy dz

dy dy dy

452. Nous indiquerons encore une formule très-générale pour l'évaluation d'une classe nombreuse de volumes.

Considérons sur une surface quelconque un contour fermé dont les points soient définis par deux variables «, /3, liées suivant une loi connue à leurs coordonnées orthogonales x, y, z. Considérons le solide pyramidal ayant pour base cette portion de surface et pour sommet l'origine 0 des coordonnées. Prenons, pour l'évaluer, comme volume élémentaire, la pyramide ayant pour sommet le point 0, et pour base le parallélogramme compris entre les courbes infiniment voisines qui correspondent aux valeurs a, a -i- da., /3, /3 -f- (/jS des variables « et jS. Cette pyramide est, comme il est aisé de le voir, le double du tétraèdre ayant pour sommet le point 0 d'une part, et d'autre part trois points infiniment voisins de la sur-

face, dont les coordonnées sont x, y, z, x

dx j dy ,

-j- dot., Y + -f- dx, dx -^ dx

jôd^; l'expression d'un tel volume est

dadp

Tx'

Tx-

en sorte que le volume cherché est

fl?«,

dx dy dz

dx dx dx

dx dy dz

d^" dj' dÇ>'

les intégrations devant s'étendre à toutes les valeurs de « et de |3 qui correspondent à l'intérieur du contour. Si la surface considérée est fermée, on aura le

volume total en étendant les intégrations à toutes les valeurs de a et de /3 qui correspondent à ses divers points.

Introduction de l'élément de surface dans V évaluation des volumes.

453. Gauss a fait connaître une t'orniule remarquable dans laquelle l'expression de l'élément de surface s'introduit utilement dans le calcul d'un volume.

Supposons qu'un volume terminé par une surface quelconque soit projeté sur un plan, sur celui de xy par exemple, et que cette projection soit décomposée en éléments infiniment petits, dont l'un soit cIm. Le prisme parallèle à l'axe des :;, ayant </w pour base, coupera la surface fermée en un nombre pair de points; nommons z, 2,, z.^, z^, z^, z^, 3„ leurs ordonnées; l'élément de volume est

(St — Zi-h Zi — Zi + z-i— z,)do>.

Soient de,, de;.., da, dc^, da„, da^ les éléments interceptés par le prisme sur la surface qui limite le volume considéré, et 7,, 70, 73, 7,, 7;,, 7,, les angles de l'axe des z avec la normale extérieure à ces éléments, on voit aisément que 7,, 73, 7^, qui correspondent aux points où les arêtes pénètrent dans l'intérieur du volume, sont des angles obtus, et que 70, 74, 75 sont obtus; on a donc

(/w = — </o-, cosy, = + ^/o-ïCOsy. = — c? 0-3 00573= -1- (/o-, cosy, = — </(7iCOsys = + (/o-6Cosyc> et l'expression de l'élément de volume devient par suite

Zcrfo'cCOSO-c + Zsf/o-sCOSCTs + Zi (/ct, COS (7, + Z^ dry^ZOSI^ -4- 2-. (/t72COSO-2+ z, (/aiCOSff,,

et la somme de tous les éléments, c'est-à-dire le volume total, est évidemment l'intégrale

i z dacosy,

étendue à tous les éléments da qui composent la surface, 7 désignant toujours, bien entendu, l'angle de la normale extérieure avec l'axe des ;;.

454. L'emploi des coordonnées polaires conduit à une formule analogue. Considérons un volume en dehors duquel soit située l'origine des coordonnées; si de l'origine comme centre on décrit une sphère ayant pour rayon l'unité de longueur, on peut (428) la décomposer en éléments dont l'expression générale est s\n9 dS c?if • La pyramide, qui a pour sommet l'origine et pour base un de ces éléments, coupe la surface qui limite le corps en un nombre pair de points. Supposons, pour fixer les idées, qu'il y en ait six dont les rayons vecteurs soient p,, p., ps-, p*, Pi> f^c; f^'