LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

l'on nomme d'7^, dc^, du^, da^, da„, r/c,, les éléments de surfa(!'e interceptés, la portion du volume comprise dans l'intérieur de la pyramide a pour expression

sin9rferf|

P«-P^+PJ-P3+P2-P;).

7i. Va. '/s. 7w V». Vg étant les angles formés par le rayon vecteur avec la normale extérieure à chacun de ces éléments, on aura

</a, cosy, rfffi cos/j du^ cosys rfs-i cosy, da^ cosys

PÎ " 9\ " Po "^ p' ~ p!

i= r--- = sui 9 a9f/'I/,

Pô et par conséquent l'expression devient

T {ped^eCOS'/e. + ps t/o-j cosyi H- ps (/t, cosy, -h pid ffsCOsy^ + p2(/o-2COsy. +p, rfo-, CCS y,),

et b somme des expressions analogues est évidemment

-5 /prfffcosy,

étendue à tous les éléments de de la surface.

Application à l'ellipsoïde. — Considérons l'ellipsoïde représenté par l'équation

En adoptant, pour représenter les points de la surface, les variables p Qi q liées aux coordonnées x, y, z par les équations

d? = rtsinj9Cos</, r = *sin/>sinr/, l'élément de surface est exprimé (430) par

ccosp,

'q sin'/Jsin'Y cos'o

ahc%xnpdpdq y/ '-^^— ■? ^ ^

L'angle de la normale extérieure avec l'axe des z a pour cosinus

cosy :=

cosp

/ z' r' X' /sin'pc

cos'</ sin';>sin'^ ces'/)

m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

et l'expression du volume

/ zdzcosy devient, par conséquent,

I siïi p cos^ p dp dq := ahc j slnpcos'pdp j dq^=^Tiabc.

455. Cherchons de nouveau, à l'aide de la même formule, l'expression du volume (le l'ellipsoïde, en rapportant les points de la surface aux coordonnées elliptiques de M. Lamé.

L'ellipsoïde ayant pour équation

un point de sa surface sera défini (l, 128) par les paramètres v et p qui satisfont aux équations

et tels que l'on ait |:ji.^ > v^ > p'\

La distance de deux points infiniment voisins étant exprimée (1, i28) sur la surface de l'ellipsoïde par

l'élément de surface est

On a d'ailleurs (I, 128)

~ ces y— ^-