LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

qui, d'après les valeurs de x, y, z (I, 128), devient

cosy = J>iJ.y/{c'-pn{c^-v'){!^'-c'J

\/{lj.'—v'){lJL'—p')c'b^c'—b') et l'expression de l'élément du volume zd<7 est par conséquent

Il faut, pour avoir le huitième du volume total, intégrer entre les limites o et è pour p, b et c, pour v, et, en égalant le volume à l'expression connue

^T.IJ.SJIJ.''— b^ sj IJ? — c"- ,

on obtient la formule

Jo Jb sl{b'-p')[y'-b') ^ 6

456. L'application de la formule (451) au volume d'un ellipsoïde fournira la valeur d'une autre intégrale double, qui, de même que la précédente, ne serait pas aisée à calculer directement.

En adoptant les mêmes coordonnées orthogonales que dans le calcul précédent et gardant les mêmes notations, l'élément de surface da est encore représenté par la formule

Le produit p cosy, qui dans la formule trouvée (451) multiplie da, est la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur le plan tangent; elle a pour expression

Ix'' y' a'

et l'on a, en remplaçant x, y, z par leurs valeurs, .

\. Cale, in t. 54

L'élément de volume ^pda est par conséquent

1 dpdv{v^—p')iJ.iiJ(iJ!.'—b'){iJ.'—c')

et le volume de l'ellipsoïde

mais on a

V = î 7T|:x y/p' — 6 Vp' — C ,

et par conséquent

J' I " dp dv = -TT,