CALCUL DE L'ATTRACTION DES CORPS SOLIDES

Loi générale de l' attraction.

457. Nous n'avons pas à exposer ici comment l'attraction mutuelle des corps est devenue l'une des lois les mieux établies de la science; deux molécules matérielles, quelle que soit leur position dans l'univers, exercent l'une sur l'autre une action proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance.

Un corps solide étant décomposé en éléments infiniment petits, chacun d'eux exerce sur une molécule donnée une action connue, et les règles de la statique permettent de les ramener à une force unique; mais les sommations à faire sont évidemment des intégrations, et c'est par là que l'étude de cette question trouve naturellement sa place ici.

Expression des composantes de l' attraction.

458. Rapportons le corps attirant à trois axes de coordonnées x, y, z, et soient a, |S, y les coordonnées du point attiré; l'élément infiniment petit du corps attirant (Ixdydz, en nommant D sa densité, aura pour masse Ddxdydz, et si p. est la masse du corps attiré, la force d'attraction suivant la droite qui joint les deux points, dont les coordonnées sont x, y, z, a, |3, y, est

(,j fHitdxdfdz

(x-<xY+{y-pY+[z-yf

f étant la constante qui représente l'action de l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance.

Les trois composantes de la force (r), parallèlement aux axes de coordonnées,

sont :

[{x-ay+{y-^y+(z-

-yrf

/Df^lr-P)

/Dp.(2-y)

' 2 ) / Y = ^^^^£^ ^ 1 dxdrdz,

z = f^i^i^-y} d,^ drdz.

Pour obtenir les composantes totales A, B, C de l'attraction d'un corps sur la molécule fx, il faut faire la somme de ces composantes en l'étendant à tous les éléments du corps attirant. Pour obtenir les éléments qui correspondent à un parallélipipède formant une ligne parallèle à l'axe des x et compris entre quatre plans respectivement parallèles aux plans des ZX et des YX, il faudra intégrer par rap- ' port à X, en considérant j, z ei dydz comme des constantes, les limites étant des fonctions dey et de z fournies par l'équation de la surface qui limite le corps. On réunira ensuite les composantes relatives aux filets compris entre deux plans parallèles à celui des ZX; et pour cela on intégrera par rapport à Z, on laissant/ et dy constants. Les limites de cette seconde intégration sont fonctions de y et fournies par l'équation de la courbe sur laquelle se projette le corps sur le plan des YZ. Une troisième intégration par rapport à y fournira enfin la composante relative à la somme des tranches qui composent le corps, et cette intégration sera prise entre des limites constantes qui sont les valeurs extrêmes dey correspondant aux plans tangents menés à la surface parallèlement au plan des ZX.

Il va sans dire que l'ordre des intégrations est arbitraire, et l'on pourrait, par exemple, intégrer d'abord par rapport à z, puis par rapport à x, et enfin par rapport à y.

4.59. L'expression des composantes est, d'après ce qui précède,

= Ç c f ZM^IZ") , dxdydz,

J JJ [{x-ccy+ir-^y + iz-yYY

,3, . i'^=fff • -^"^^^--^ -3^^^r^^,

J J J [{x-ay+ir-^r + i^-yyy

. fff JlAl^l) ^dxdydz,

les intégrations pour s'étendre à la masse entière du corps attirant étant prises entre les limites qui ont été indiquées.

Lorsque la densité D est supposée constante, l'une des trois intégrations peut