LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS
s'cif'ectuer dans tous les cas, et les composantes A, B et C dépendent chacune d'une intégrale double. Considérons, par exemple, la composante parallèle à l'axe des X,
A =/Dp f f f ^-^^^^^ , dxdydz,
on a
dx ^= —
\ix — a)-'-^(X- ^Y-\-(z—yYy [(.r-«)' + (,r— P)'+(2 -y)M"
Si donc on suppose que le paraliélipipède parallèle à l'axe des X, dont la base est dydz, coupe la surface qui limite le corps en des points i, a, 3, 4. 5, 6, la portion de l'intégrale relative à ce paraliélipipède sera, en nommant r,, /-j, r,, r^, r^, i\ les distances de ces points d'intersection au point attiré.
dy dz 1 1 ;
\'-, r-, r, l'i r, Vc
c'est-à-dire, on nommant û?7,, dcj^y d'^i^ do^, di-^, da^ les éléments de surface interceptés,
cos N,, X cos N2, X ■ cos(N3, X ces N<, Xj
- ^^' cos(Ns, X) - — cos(N„ X).
(N,, X), (N2, X),... étant les angles que la normale extérieure forme avec la partie positive de l'axe des X; et la composante de l'attraction, parallèlement à l'axe des X, est enfin
da étant l'élément de la surface et r la distance de cet élément au point attiré.
460, L'emploi des coordonnées polaires fournit une autre expression qui sera utile.
Plaçons l'origine au point attiré, et considérons un cône infiniment petit d'angle d'j) ayant son sommet en M et coupant la surface du corps attirant en quatre points, par exemple, (|ue nous nommerons 1, 2, 3, 4- L'action exercée sur le point M, par la portion du corps située dans l'intérieur de ce cône, est évidemment
/Dp. I —J- dr^^fHp. I d(,)dr=z (r,— i\+ r,— i;)dw.
Mais, en nommant </a,, rfc,, dç^, dr:^ les éléments interceptés sur la surface, on
cos(N„R)rfo- , cos(N„R)f/(72 , cosfN^, Rlrfo-s , cos(N„R)rfa, ,
; = — «t>), =aw, ; = — aco, r^— ^ = aw.
r] ri ri r]
La somme décomposée parallèlement à l'axe des x est par conséquent
(5) r'^cos(N,R)cos(R, X),
(N, R) et (R, X) désignant l'angle du rayon vecteur avec la normale extérieure et avec l'axe des X.
461. Quand le point attiré fait partie de la masse attirante, on ne doit rien changer aux formules précédentes. Un facteur infini s'introduit, il est vrai dans ce cas, dans l'expression de certains éléments de l'attraction, mais la somme de ces éléments est négligeable et sans aucune influence sur le résultat.
Considérons en effet un cône d'angle infiniment petit c?w et ayant pour sommet
le point attiré, la portion de cône comprise entre deux sphères de rayons r et
r -{- dr A pour expression
r'ch) dr,
et, en nommant D la densité, son action sur un point de masse y. placé au sommet est
D|a rfo) dr.
Le cône tout eptier, terminé à la sphère du rayon a, exerce donc une action
Da rtfw dr=^ Dij.a dod.
qui devient infiniment petite avec a.
462. Il résulte évidemment de la remarque précédente que lorsqu'un corps de densité finie agit sur un point de sa masse, la portion infiniment voisine du point attiré produit un effet négligeable. En ajoutant en effet les actions produites par les cônes ayant leur sommet au point attiré et formant une sphère de rayon infiniment petit a, on trouverait pour somme l\n(>a. La résultante de ces forces est donc à /or^ion. infiniment petite, et, de quelque manière qu'on les combine, les résultantes partielles le seront également.
Solide de plus grande attraction.
463. L'attraction d'un corps sur un point matériel étant toujours, d'après ce qui précède, d'intensité finie, on peut chercher la forme d'un corps homogène de
