LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

Le théorème précédent s'applique lors même que le point attiré fait partie de la masse attirante; mais ce cas doit être examiné à part. L'un des éléments de l'intégrale V devenant alors infini, on doit craindre, en effet, en la traitant comme la somme de ses éléments, de rencontrer des résultats inexacts.

Détachons de la masse attirante un solide infiniment petit M,, qui comprenne le point attiré; nonimons V, le potentiel relatif à cette partie du corps, V2 le potentiel relatif à tout le reste de la masse; on aura

et, si l'on partage de même la composante de l'attraction en deux parties A, et A2 relatives à ces deux portions de la masse attirante, on aura

A = A, -t- Aj.

On a sans difficulté

Aj = , - • (la

De plus, A) est infiniment petit et s'annule avec la masse M, ; s'il en est de

même de ~,— i le théorème sera évidemment démontré. Pour faire voir qu'il en est

ainsi, supposons que le solide M,, qui est arbitraire, soit une sphère de rayon r ayant pour centre le point attiré. En nommant p la densité de cette sphère, le potentiel V, est, comme on le calcule aisément, aTTjsr^; si le point attiré subit un déplacement da infiniment petit par rapport à r, on pourra considérer la masse M, comme composée d'une sphère de rayon r — du ayant pour centre le nouveau point attiré, dont le potentiel sera

27rp(/' — da.y^ T.Txpr' — ^Tiprdx,

et d'une couche dont la masse, étant de l'ordre r'^da, et la distance au point attiré égale à r, donnera un potentiel de l'ordre rda. Représentons-le par ^rrfa, k étant fini; la différence des deux potentiels, d\,, est

dVt =^^T.çtrdix -+- hrdx,

et le rapport à doc est infiniment petit avec r. L'équation

, d\, A, = -jdx

équivaut par conséquent à

* A «'V, rfV,

Ai 4- Aj = —j 1 j — î

dot a<x

c'est-à-dire à

La formule précédente, qui se trouve démontrée dans tous les cas, peut être énoncée sous une forme équivalente, dans laquelle n'intervient plus le choix des coordonnées : Si V désigne le potentiel en un point ei V + dy en un point voisin

dy situé à la distance s., — est la composante de r attraction dans le sens de la distance 6.

469. Le théorème précédent permet de calculer l'attraction lorsque le potentiel est connu, ou réciproquement d'obtenir le potentiel quand l'attraction est connue.

Considérons, par exemple, une sphère pleine, de rayon R et de densité D; l'altraction qu'elle exerce sur un point de masse fi situé à la distance a du centre est, en supposant a plus grand que R (464),

et cette attraction est dirigée suivant la ligne qui joint le point au centre Les composantes sont donc, en nommant a, /3, y les coordonnées du point attiré,

De l'équation

on déduit

4 TrR'Df/. a

3 fl' «

4 TiR^Df;. p

4 TrR'Df/. y

(la oc da j3 da ^y

da a dp a dy a

et la fonction V, dont les dérivées sont égales aux expressions (3), (4), (5), est évidemment

Lorsque la distance est infinie, le potentiel V doit s'annuler; la constante est, par conséquent, égale à zéro, et l'on a enfin