THÉORIE DES INTÉGRALES MULTIPLES

Définition d'une intégrale multiple.

48t. Nous avons été conduits, par l'évaluation des volumes et par celle des surfaces courbes, à considérer des intégrales qui ont été nommées intégrales doubles et dont le calcul exige deux intégrations successives. Nous allons, dans ce chapitre, étudier ces intégrales indépendamment des problèmes géométriques auxquels elles doivent leur origine et en généraliser la notion analytique en considérant des intégrales d'ordre quelconque, c'est-à-dire dans lesquelles figure un nombre quelconque d'intégrations.

Considérons un nombre quelconque de variables a;,, ir^,..., a;„ indépendantes les unes des autres et assujetties à une ou plusieurs conditions d'inégalité de la forme

(i) ' tpfa;,, X;,. . ., r„)<o, .

analogues à celle qui, dans le cas où le nombre des variables est deux ou trois seulement, leur impose la condition de représenter les coordonnées d'un point intérieur à une certaine courbe ou à une certaine surface. Les systèmes des valeurs accessibles aux variables peuvent être partagés en groupes dont chacun comprenne toutes celles pour lesquelles les variables Xf, x^,..., œ„ sont comprises chacune entre deux valeurs infiniment voisines qui seront pour xi

Xi el Xi •+- dxi.

Si nous multiplions une fonction

par le produit

dxi dx- . . . dx,„

la somme des valeurs de ce produit, étendue à tous les groupes, est l'intégrale multiple

(a) / j ■■■ j F{x„ Xi,. . ., x„}dx,dx2. ■ . dx„,

dont les limites sont définies par l'inégalité (i-).