LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

On peut d'ailleurs substituer à cette inégalité toute autre condition ou système de conditions indiquant avec précision quelles sont les valeurs qu'il faut accepter pour les variables; la définition reste la même.

482. Pour calculer une intégrale multiple telle que (3), on devra commencer par sommer tous les éléments qui correspondent aux mêmes valeurs do n — 1 variables X2, ajj,..., x„ par exemple, et leur somme

dx, dxi. . . dx„ j F{x,, Xt, . . ., x„) dx^

s'obtiendra par une première intégration dont les limites seront, en général, des fonctions de x.2, X3,..., .r„ que l'on calculera à l'aide de l'inégalité (1) ou des conditions qui la remplacent. L'expression de cette première somme étant obtenue et égale à

t|/(jCj, ar, ,r„) dx, dx,. . . dx,„

on réunira toutes celles qui correspondent aux mêmes valeurs de x^, x,, , x„,

et leur somme

r/xj dx^ . . . dx„ j dxi tl^i Xi, Xi, . . . , x„ ) = dx^ dx, . . . dx„ j dx-, I dx, ç{x,, x„. .., x„ )

s'obtiendra par une intégration prise par rapport à x.^ entre des limites qui dépendent de ajj, a;,,..., x,, seulement. On continuera de même en faisant varier successivement les n variables, et la dernière intégration aura pour limites deux constantes qui sont les valeurs extrêmes de x„ lorsque les n—i autres variables sont entièrement indéterminées.

L'ordre dans lequel les variables a;,, x^,..., x„ sont cboisies dans les intégrations précédentes est absolument arbitraire, et l'on peut, dans le calcul d'une intégrale multiple, cbanger l'ordre des intégrations, pourvu que l'on change en conséquence les limites successives de manière à embrasser, en somme, les mêmes systèmes de valeurs de toutes les variables. La possibilité d'intervertir les intégrations repose sur ce principe évident qu'une somme reste la même quel que soit l'ordre dans lequel on ajoute les parties. Le théorème a pourtant des cas d'exception lorsque certains éléments deviennent infinis, et nous en avons donné un exemple (225).

483. Calculons, d'après les définitions précédentes, l'intégrale

x^" ' dx, dx,. . . dx„.

étendue aux valeurs positives des variables pour lesquelles on a

.r, + .Tî + . . . -4- .r„ ■< I .

Suppo.sons d'abord qu'il n'y ait qu'une variable; on a

(4) /'^•'"'''^' = ^" S'il y a deux variables, l'intégrale est '

dxi 1 x'\'~' x\'~^ dx,.

La première intégration s'effectue immédiatement, et l'expression est ramenée à l'intégrale simple

c'est-à-dire (322)

k, r{A-,-+-/r,+ i) r(/f,-t-/f.4-i) Dans le cas de trois variables, l'intégrale triple est

I x'\'~^dx, I x'!/~* dx, I

'o t/O VO

(6) 1 x*'~'c?a:i I .Tj'-'tiarj / x^'-^ dx.

Il est clair en effet que la somme x,-i- x^-h x^ ne devant pas surpasser l'unité, si dans la première intégration x^ et x^ sont constants, x^ ne peut pas surpasser I — x^ — a?,; dans la seconde, a;, reste constant, et x^ ne doit pas surpasser i — a?, ; la troisième enfin doit s'étendre à toutes les valeurs de a;,, c'est-à-dire de zéro à i.

La première intégration s'effectue de suite, et la formule (6) devient

Pour effectuer l'intégration par rapport à x^, posons

x,=:v{i — Xt ).

j ^c j=~ ' {i — X, — ^Tj )*3 dXi = I c*i~' ( r — f )*' ( I — ar, )*!+*3 </f