LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

étendue aux valeurs positives pour lesquelles

(i6) x]-hxl+...-hx^<:'R'-

Elle est égale à

Pour « = 2, elle représente le quart du cercle de rayon R, et l'on a en effet

Rj ^\2 y ttR'

Pour « = 3, elle représente le huitième de la sphère de rayon R, et l'on a en effet

R^ ^\ij ttR'

Si l'on veut étendre l'intégrale (i5) à toutes les valeurs de x,, x^,. . ., x,, qui satisfont à l'inégalité (i6), il faut multiplier le résultat précédent par a". Il est aisé de voir en effet que le signe de chaque variable étant assigné, l'intégrale, quelle que soit la combinaison choisie, aura la même valeur; et le nombre des combinaisons est 2".

486. L'intégrale (17) / I ■■• I x'i<-^ x^''-' . . .x^^"-' dx,dx2. ■ . dx„

étendue aux valeurs positives de a?,, x.^,-.-, x„ pour lesquelles

Xi-h X; + . . .+ Xn<^h

est égale (484) à

L'intégrale étendue aux valeurs de x,, x^,..., x,„ dont la somme est comprise entre A et A + dh, est par conséquent

, g (A-.-f- A-.4-. ■ .-f- /f„)A*.+*.-^--^*.-' dhT{k,)T{h). ..T{k„) '

r(/r,-f-/f, + ... + /r„-hi)

^♦.+*:+- ••+'»-' JA T{k,)T{k,). . . r(/.-„)

T(k,-+-k2 + ...-{-kn

M. Liouville a déduit de cette remarque une formule de réduction pour l'intégrale

(19) / j ••■ l x'','~^ x\'''^ . . . x''^"'* dx,da:,. . .dx„F{a:, + X2-h . . . + x„)

étendue à toutes les valeurs positives de x,, x^,..., x„, pour lesquelles on a

X,-i-X:,-h- .-hXn<a. ,

L'intégrale relative aux valeurs de a;,, x^,..., x,„ pour lesquelles la somme est comprise entre h eih-+- dh étant en effet

la somme totale est évidemment

r(A-, + /fi+. ..-)-A-„) J„ ^ '

et l'intégrale multiple est ramenée à une intégrale simple.

On en conclut, par un changement de variables, la réduction de l'intégrate

Pour les valeurs positives de .r,, a?2,..., ^„, telles que

elle est équivalente à

Soit, par exemple, l'intégrale (23) C C--- C dx,dx\...dx„

JJ J v^i — •«•? — •»' — •■• — •^«' étendue aux valeurs positives des variables qui laissent le radical réel. Celle inté-