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pour n = 2, on a
et l'intégrale, égale à -■> représente alors le huitième de la surface d'une sphère de rayon unité.
Formule de Poisson.
487. Poisson, dans un de ses Mémoires, a transformé très-élégamment en une intégrale simple une intégrale double à laquelle l'avait conduit la solution d'un problème important.
Quelle que soit la fonction désignée par F et les constantes a, b, c, on a
/ ¥{acosd-hbs'm9cos^ + csir\9sin<\i)sin6d6d'\i — 2nj F{Ru)du
ou
Pour démontrer cette formule, regardons-y 5 et t(> comme les coordonnées polaires des points d'une sphère de rayon unité; sin5 M d']( (428) est l'élément de la surface de cette sphère. Pour donner une signification à l'expression
a ces â H- 6 sin 6 cos ^j> 4- c sin 6 sin ij;,
en nommant R,/>, q les coordonnées polaires du point dont les coordonnées rectangulaires sont a, h, c, on aura
a = Rcos/>, 6=:Rsin;>cos5, c = Rsin/7 sinç, .
et l'expression (26) est le produit de R par le cosinus de l'angle formé par les directions que définissent les angles 5 et t|^ d'une part, p et q d'autre part. En nom-
mant cet angle w, et d'y l'élément de la surface sphérique, l'intégrale devient
/ F(Rcoso))</<7,
ère
le signe / indiquant une intégration qui s'étend à la surface entière de la sph
de rayon unité.
Prenons pour pôle le point oii le rayon vecteur R perce la sphère, 5, et i}i, étant les coordonnées polaires d'un point de la sphère, on aura
w = 9, , et l'intégrale (27) devient
i " r"''sine,F(Rcos9,)rf9if?4'.-
L'intégration par rapport à ij>, s'effectue immédiatement, et l'intégrale double (25) est ramenée à l'intégrale simple
271 r sin6,F(RcosS,)e?0,.
Si l'on pose l'intégrale devient
c'est le théorème de Poisson.
COS0, = It,
sin9|û(9i =^—du,
in j F(R«
) du :
Réduction par l'augmentation du nombre des intégrations.
488. Nous'avons calculé plusieurs intégrales simples (247) en les ramenant à des intégrales doubles. Il arrive souvent aussi que la détermination d'une intégrale multijjle se simplifie quand on remplace l'un des facteurs qui y figure par une intégrale équivalente, en augmentant ainsi pour les rendre plus simples le nombre des intégrations à effectuer, dont il est permis ensuite de changer l'ordre.
Soit à calculer l'intégrale
/ . . . / -J— — l IIL^ dx, dx, . . dx,..
