JO

toutes les intégrations s'effectuent à l'exception de la dernière, et l'on trouve

rfz.

Méthode de Dirichlet.

489. Dirichlet a appliqué fort ingénieusement aux intégrales multiples la méthode employée (256) pour le calcul d'une intégrale simple, et qui consiste à introduire un facteur égal à l'unité dans les limites des intégrations et à zéro en dehors des mêmes limites, de manière à pouvoir ensuite prendre pour toutes les variables les limites — co et 00 .

L'intégrale

2 /""sino j

- 1 — J-cosf/oao

est (255) égale à l'unité lorsque q est moindre que 1 et à zéro dans le cas contraire. Si donc une intégration doit être faite entre des limites définies par l'inégalilé

46i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

on pourra muUipIier l'élément à intégrer par

2 sinç „, , ,

et intégrer entre les limites y = o, œ = ce , en substituant ainsi à l'intégrale proposée une intégrale nouvelle dans laquelle les variables x,y, z n'auront plus pour limites que — oo et co , car les éléments pour lesquels Y{x, y, z) est supérieure à l'unité et qui ne doivent pas figurer dans la somme, sont multipliés par l'intégrale

r^sincp , , ,

j --— î^ CoscpF(.r,j, z)t/9

qui est égale a zéro. Les autres sont multipliés par l'unité, el le résultat n'est pas changé.

Appliquons cette méthode à l'intégrale

/ j ■ ■ ■ j x'i>~^ x\'' ' . . . ^*"~' ^/.r, dxf . . dx„

prise entre les limites définies par l'inégalité

où 07), ajj, . . . , Xn sont supposés positifs. .j^

Cette intégrale est égale, d'après la remarque de Dirichlet, à

/> oc /^ co /» co

(3i) - I / ••■ / ^1--'^^-'....rf;"-'

^ Jo ^0 i/o

X '- coscp (—'I '+(— ) H ^(~) "Id^'^id^i- d^ndcf-,

elle est la partie réelle de

ncc ncc /«co

En intégrant d'abord par rapport à x,, il faut calculer

Posons

-\=z— II.

l'intégrale deviendra

Jù

■\]^i>'du^i — -^^^a*'9 P' (—!)'/'>,

et on aura de même

C^ (JL'

VP".

et l'intégrale (32) devient

«*• «^=. . . !zf,"(— l)'/'' '/>'

Mais on a (325), en supposant p, compris entre i et 2,

»P» / 1- rfcpcp \P<. Pt Pn/

2r(fi)sin-fi7r,

en sorte que l'intégrale demandée est la partie réelle de

)---r(^'^) «*•«*'. ..«!;"(-ir'"^'''="'

/»./..... />,r(. + ^ + ^' + ... + i")siniJ, + ^- + ^' + ... + ^"

V P' P» PnJ 2 \ Pi p, p.,

Or on a

(-ir''""' "'- = cos^f^ + ^^î + ... + ^')+^-.-sin^(

D'ailleurs

sin