I. Cale. Iril

et l'intégrale est enfin égale à

\pj VpJ \p„l <xV<x\'.

comme on l'a trouvé

\ P' P-: Pnl

■■Pn

490. La démonstration précédente repose sur la formule (34) et suppose par conséquent

p. p, Pn

Si cette condition n'est pas remplie, l'intégrale (33) est infinie. L'intégrale (3o) est cependant finie, et la formule trouvée est encore applicable. La démonstration de Dirichlet est alors en défaut, et nous devons en chercher la cause. Il n'est pas toujours permis, nous l'avons dit, d'intervertir l'ordre des intégrations, et on ne doit le faire que dans le cas seulement où l'intégrale peut être considérée comme la somme de ses éléments infiniment petits, peu importe alors dans quel ordre ils sont réunis. Mais lorsque les éléments ne sont pas tous de même signe et que la somme des valeurs absolues (ou, s'il s'agit d'expressions imaginaires, la somme des modules) est infinie, l'ordre dans lequel on les ajoute peut exercer une influence sur la somme, et l'inversion de l'ordre des intégrations peut changer (225) complètement le résultat.

Dans l'exemple qui nous occupe, l'intégrale calculée d'abord

devient infinie pour <p = o, et la méthode fondée sur l'inversion de l'ordre des intégrations ne doit pas être considérée comme rigoureuse.

491. Dirichlet, en signalant lui-même la difficulté, a indiqué le moyen de la faire disparaître. Il considère pour cela l'intégrale

(36) j ■■■ j e-<'i+'i+---+''n)x\'-'^xl--K. .x';;-*dx,dx,...dx„

étendue aux valeurs positives de a?,, cc2, • ■ ■ , a;„, pour lesquelles on a

x, + X2 + . ■ ■+ x„<^i, et dont il déduit aisément celle qui vient de nous occuper.