LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

L'intégrale peut être remplacée, comme dans le cas précédent, par

X </^i f^^i. • ■ dyr„ ï coscp(ar, + .Ti-F . . . -i- x„)d<f;

et cette fois, a désignant un nombre positif, les intégrations prises par rapport à l'une quelconque des variables donnent un résultat fini. L'expression est la partie réelle de l'intégrale

/ ... / g-oCJ,+i,4-...+x„; + (T,+i,+ ...+x„)fv/-i

X a;*'^' xi'~^ . . . xi""^ clx, dx,. . ■ dx„do.

On a

^-(«+îv/-i)^ar*'-' dx,

On peut donc effectuer les intégrations par rapport t^ x,, x.., . . , œ,„ et l'on trouve

sm9

^ïï^fT.wT, (h-

Mais la même méthode de transformation montre que (4o) / e-"'^*i+*i+---+*.-'rfz

est la partie réelle de

(4t) ^ r(/r. + /,-, + . . . + /.•„) r ^ rf<p ,—.,,,, ..,,

et l'intégrale (36) est par «conséquent égale à

■•••^■A■") Jo

"Cette formule étant démontrée quel que soit a, Dirichlet y suppose a = o, et on a enfin

ff...fx'i^-^x^-^...xfr^dx,dx..

r(/f,+A-,+...+/f„) Jo "" r(/<-,+/.-.+...+/f„)(/i-,-+-A-.+...-f-A-„)

-"dz

T{k,)T{Iu)...T{h}

^ T{k,)T{k,)..:T{k„) T{k,+ k, + ...-hku-hi)'

les intégrations étant toujours étendues aux valeurs positives de a-,, ajo,..., jr„, pour lesquelles on a

OC \ ""T" OCi —\~ • . • — r~ OCji <Z.^ I •

Il faut remarquer enfin que, dans l'équation (42), l'hypothèse a = o est légitime, car les éléments qui la composent sont tous positifs.

Changement de variables dans les intégrales multiples.