Soit

U= I \---i(Sf{Xx,x-i,..., x„)dx, dxi. . . dx„

une intégrale multiple dont les limites soient définies avec précision. Proposonsnous d'y substituer aux variables a;,, 0:2,. .., a;„ des variables nouvelles u,, u^,..., u„ qui en soient des fonctions connu.es. La solution implique évidemment trois recherches distinctes.

1° La transformation de la fonction 9(0;,, Xi,...,Xn)', 2" la détermination du nouveau système de limites; 3° la recherche de l'expression qu'il faut substituer à dx^, dx.^,..., dxn. La solution des deux premières questions est purement algébrique, et nous nous occuperons seulement de la troisième.

Supposons d'abord que l'on change une seule des variables et qu'à x„ on substitue m„; écrivons l'intégrale proposée de la manière suivante :

I dx, 1 dxi. . . j dx„-i i (f{xt, x„. . ., x„)dx„.

Dans la première intégration à effectuer par rapport à x^, x,, x^, x„, sont des constantes; pour remplacer x„ par u„, il suffit d'exprimer x,, en fonction de u„ et

de X,, Xi,:.., X,,..,, et de remplacer dx„ par y-^ du„. On a donc, en nommant

ç!,(a7,, X2, x„^,, Un) ce que devient la fonction y,

U = 1 l---j(f,{Xt,Xi,..., *•„,, M„ ) ~ dXi dx-i . . . dxn ■ . . du„ .

Dans l'intégrale qui forme le second membre, changeons l'ordre des intégrations et écrivons-la comme il suit :

j dxi j dx2. . . i dx„, l du„ I 9,(^1, x„. .., ar„,, u„) -j^ dx„^,. Cette fois, dans la première intégration indiquée, x,, x.^,..., x„i, u„ sont des