LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 4C

constantes. Pour remplacer x„, par «„,, il suffit donc d'exprimer x„, en x,,

X2,..., x„^2, u„, ii„-i, et de remplacer dxn^ par . """' <fa„i ; l'intégrale proposée devient ainsi

U= / l ••• j 9'[^'J -^î; • • •> ^n-2, «n-l, t(„) ~ 7"^ '^^l '^■^^^ • • dXn-ldUn-i du„.

En continuant ainsi et remplaçant successivement chacune des variables x^fXn,.. .,x„ paru,, u^,..-, u„, l'intégrale proposée deviendra

dx„ dx„t dxi dn„ dn„i du.

du, du,. . . du„

f{u,, iii,..., u„) étant ce que devient la fonction y lorsque les variables.sont rem-

fi T* fi 'Y' fi ir

placées par m,, Mj,..., «„ et y— > . ""'?■••> -.~i qui n'ont de sens (I, 51) qu'autant

que l'on indique les variables qui, dans le calcul de chacune d'elles, doivent rester constantes, sont définies, comme cela résulte de la démonstration, de la manière suivante :

Dans -7""> Xn est considéré comme fonction de u^ et de a?,, x.,,..., x„f, qui restent constantes dans la différentiation.

Dans ■ "~S x„., est fonction de «„, et de ic,, x.,,.. , a;„2 et u,„ qui restent constantes dans la différentiation.

Dans , "~') iP„2 est fonction de f/„2 et de .r,, x^,..., x„^, «„,, u^ qui restent constantes dans la différentiation.

Et ainsi de suite jusqu'à -7-^5 où a;, est considéré comme fonction de i/,,M2. •••,«,!

Le produit ainsi défini,

tdxA fdxn-,\ Jdx, \du„) \du„^,) \dui

est égal (I, 77) au déterminant du système des variables anciennes it,, x^,..., x„ par rapport aux variables nouvelles w,, u^,.. , u,„ et l'on doit enfin, dans la transformation d'une intégrale multiple, remplacer

par

du, du,. . . du„

dx, dx, . . , dx„

493. Le résultat est d'accord avec ceux que nous avons trouvés (451) pour

l'évaluation tles aires et des volumes, et en cherchant l'expression des intégrales

j I dx dy, Il I dx dfdz,

quand on adopte un système quelconque de variables, on retrouve les formules données (451).