LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

d'où l'on déduit

langtj/= ^ tang7;

t{* étant exprimé en fonction de q seulement, le déterminant par lequel on doit multiplier dpdq pour remplacer d'indu se réduit à

dq dp

On déduit des équations (45) et (46)

bc

smt

</0 dp

dq ^'cos'^ + c'sin'^'

a{b^cos'q -f- c' sin'^) siap

[a'cos'p + 6' sin'/> cos'q + c'sin'j9 sin'g)"

Les limites, on le voit aisément, sont d'ailleurs les mêmes pour/; eiq que pour 0 et <i^, et l'intégrale se réduit à

/•7r /TiTT

abc j I sinp dp dq = /[-abc.

495. Nous indiquerons comme seconde application la démonstration élégante donnée par Jacobi d'une formule fondamentale dans la théorie des intégrales Eulériennes.

On a, par définition,

e-^x'-'dx,

Jrtcc

On en conclut

(47) T{k)T{l)=: f^ f e-(^+/)*-*-'j*-'</arûf/;

car il suffît d'effectuer les intégrations indiquées (47) pour voir que l'intégrale double est le produit de deux intégrales simples.

Remplaçons les variables x et j par deux variables u et i', liées aux premières par les relations

Les limites seront o et 00 pour «, o et i pour c, et l'on devra remplacer dxdy par

. , 1 dx dy dx dr\ ,

'^"'^'\T.du-d~ud'.) = '''''"''''

i7-2 DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

et par conséquent

d'où

r(/f)r(/) = !(/,- + /) f\''-'{i-v)'~'dv,

Jo

et enfin

ce qui s'accorde avec la formule connue (322).

496. M. Schlomilch a élégamment généralisé le calcul précédent pour exprimer à l'aide de la fonction r une intégrale plus générale que l'intégrale Eulérienne de première espèce.

On a

rfA-)

*-' e-"' dx = ■

j'-' e-*/ dy =

et l'on en déduit

( 48 ) r * r "" a;*-' j'-i e-("+'/' dx dy = ï^

Posons