Considérons comme second exemple l'intégrale

• ££lè'

dans laquelle d<j désigne l'élément d'une surface fermée quelconque et RR' le produit des rayons dtï courbure. On a, en adoptant des coordonnées rectilignes orthogonales,

<la =rz dx df \/ 1 + p'' -\- q' ,

I rt — s'

p, q, r, s, t désignant les dérivées partielles du premier et du second ordre de z par rapport à ir et à y, conformément aux notations adoptées (I, 634).

Substituons à a; et à j les deux variables p aiq : dxdy doit être remplacé par

^ " \dp dq dq dp j dp dq dp dq rt — s''

dx dy dy dx

et l'intégrale proposée devient

Ik

dp dq

p'-hq'

les limites correspondant à toutes les directions de la normale définie par les valeurs de p et de q qui correspondent à la surface entière. Mais il est aisé de voir que p et q, dans une surface convexe, prennent deux fois chaque système de valeurs, savoir aux points pour lesquels la normale est parallèle. L'intégrale précédente doit donc être écrite

dp dq

On voit qu'elle est indépendante de la forme de la surface considérée.