I. Cale. iiit

i7i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

Pour la calculer, posons

I) lang- =M.

En adoptant ainsi la transformation par laquelle on passe dans un plan des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires, dpdq devra être remplacé par p dp dij), et l'intégrale par

La géométrie rend d'ailleurs ce résultat évident : ^rrr; représente en effet (I, 722)

la courbure totale de l'élément da, c'est-à-dire la partie correspondante de la sphère de rayon unité, dont la surface totale est représentée par l'intégrale qu'on vient de calculer.

498. La transformation de coordonnées rectilignes en coordonnées polaires qui transforme le produit dxdydz en p'^ûnQdp dOd']^, a été généralisée par Jacobi. Soit une intégrale d'ordre n effectuée sur les variables Xy, x., x„. Posons

.ri=:pcos9i,

j;î=: psinô, cosôj,

^3 = p sin 01 sin 0, ces B„

x„^= p sin9i sin 02. . . sin0„i, d'où il résulte

x] -hx]-i-. . .-i-Xn = p\

En élevant ces équations au carré et remplaçant p^ par sa valeur, elles prennent la forme indiquée (I, 77), et qui change le déterminant en un produit. La première en effet devient

x'',={xl-hxl-h...-i-x'f,)cQS'6,

ou

x] sin'0, = {xl + xl-h. . .-h xf,)cos^6r,

la seconde

xl = {x] + xl+. . . 4-.r^)sin'0, cos=02 = (^j -I-. . . 4- j;')cos'0:, x] s\n'e^ — {xl-\-x]-i-. ..-{-xl)cos^B„ et de même

x] sin'' 9^ = l x'', -h x'I -\- . . . + xl) cos'0„

ar^isin'0„, = xl cos^0„,.