LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

et le délerminant est alors (I, 77)

dx, dx-i dxn-i dx„ i d(x]) d{x\) d{xl)

dQ,dQ, 56„i dp i''XtX2. . ■ x„ rfG, dQ^ dp

Chacune (les lettres x^, x^,..., x„ devant être considérée comme constante dans les dérivées de celles qui la précèdent, et en remarquant que

xl-hxl-^ . . . + x'„ — p''sin^O„

xl + xl + .. -h xf, = p'sin'e,s\n^6,

x]-h... + x^ = p' sin' 0, sin» 0, sin'63,

x'i H- j:^^ := p' sin' 9, sin^ 01 . . . sin' 0„2, xf, = p2sin'0, sin'0j. . . sin'0„,,

on trouve, après des réductions faciles, la valeur de dx, dx^. . . dx„

p"-'(sin9,)"-'(sin0,)"-'. • • sin0„, t/p rf0,</0,. . .f/0„„

qui, dans le cas de /i = 3, se réduit à

p'sin0,É/0,rf0,.

Dijférentiation et intégration sous le signe j ■

499. Une intégrale multiple qui contient un paramètre dont les limites sont indépendantes peut être différentiée par rapport à ce paramètre, et la règle est la même, aussi bien que la démonstration, que dans le cas d'une intégrale simple.

M. Liouville en a déduit la valeur d'une intégrale multiple dont il fait élégamment l'application à la démonstration d'un théorème célèbre.

Considérons l'intégrale

On a

dR

da

R=| je V '"*"'■"•'.■'=-' x^ 'xi, ' dx.dx,.

Substituons à la variable x, une autre variable j en posant

a' rx.

dx,

dy

(Jo.

Les limites de j sont oo et zéro, el on a par conséquent

rfR

da

r^ n--r^ -L.^^.+ j^\ :, z, ' 3 / I e ^ ■ y^' x', x' (Ix.df,

c est-a-(lire

d'où l'on déduit

En posant a = o, C se réduit évidemment à r [ ^ ] F (^ j^ et on a entin

^^rU r 3).-".