Soit plus généralement
On aura
Substituons à x, une autre variable œ„ en posant
on trouvera
a-.x,..x„/^« a:? ...^„" dx,dx,...d.r„,
c'est-à-dire
^ . da
On en conclut
R = Ce-"«,
et comme pour o = o, on a évidemment (297)
on a enfin
501. M. Liouville a déduit de celle formule la démonstralion du théorème de Gauss démontré déjà (299] et (303)
Le produit qui forme le premier membre est égal en effet, comme on s'en assure en effectuant les intégrations successives, à l'intégrale multiple
I ■•■ e ^ ' ■ U'; X," ....T„ " tlx,<l.r,...d.r,..
Jo Jo t/o
Substituons à .r, une variable a en posant
On en conclut
^-' , na'^'~'da x" dx, =
Le résultat de la substitution peut s'écrire
J<»QO Rai*-' da,
c'est-à-dire, d'après la valeur de R,
n^(27r) ' 1 e-"''a^-'da= n' "{21:}' rffi), ce qui démontre la formule de Gauss.
Théorème de Georges Green.
502. Nous devons placer ici, comme l'un des résultats les plus élégants et les plus féconds à la fois dans la théorie des intégrales multiples, un beau théorème de Georges Green relatif aux intégrales étendues à l'intérieur d'un volume quelconque. Si l'on désigne par U et par V deux fonctions quelconques de trois coordonnées rectangulaires x, y, z, assujetties, seulement à rester finies, ainsi que leurs coefficients différentiels, dans l'intérieur d'un volume terminé par une surface
fermée, considérons l'expression
dans laquelle la première intégrale s'élend à tous les éléments du volume, et la seconde, où da désigne l'élément de surface, a la surlace qui le termine, et où
enfin -r- désigne comme (472) le rapport de l'accroissement infiniment petit dy
correspondant à un déplacement dn effectué sur la normale intérieure, à la longueur dn de ce déplacement.
La somme (i) ne change pas quand on y permute les deux fonctions U et V, et elle est égale par conséquent à
Pour le démontrer, considérons l'intégrale (3) jj(da:drdz[f-
dV> dN <fU <fV rfU cl\\ dx dr dy dz dz j
étendue à tous les éléments du volume considéré. Désignons par les indices I, 2, 3, l\,..., 'in les intersections, au nombre de deux si elle est convexe, de la surface qui limite le corps avec une parallèle à l'axe des X. L'intégration par parties donnera
dx dr dz U --, — ■' dx'
Mais, en nommant da^, da^, .., t/cj,, les éléments de surface qui se projettent sur le rectangle dy dz, et a,, «o,..., ao„ les angles de la normale extérieure avec l'axe des X, on a
dy dz = cosa2„ da,,, ^^ — cosaj„i da-^a-i = . . . = — r/o-, cosar, et la première intégrale du second membre de (4) devient
d<T u -7— cosa.
dx
On a donc
