LIVUE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

fffdx dy dz ^-^ ^^ =Jd. U ^ cos« -jfjd^ dr dz U ^^^

On trouverait de même

dy''

j j jdx dydz ^^ ^J ^jd<y U ^ cosy -fjjdx dydz U ^, et, en ajoutant, l'expression (3) se trouve transformée en

r^ ttMv dv . d\ \

(5) j daVl^j^ cos«+ ^cos(3+ ^ cosy)

- IJJrf. rfj ^. U (^ + 1^ + g) .

Mais on a évidemment, en nommant x -+■ dx, y + dy, z -+- dz les coordonnées de l'extrémité de la normale intérieure dn.

cos« :

dx . dy dz

-ri cosp = — -j~i cosy = — ^■> dn ^ dn ' dn

et par conséquent

dV

-f- cosa -\ — r- cosS + -j- cosy = , dx dy ^ dz ' dn

L'expression (5) ne diffère donc de (i) que par le signe, et puisqu'elle est égale à (3), évidemment symétrique par rapport aux fonctions U et V, on peut y changer aussi ces deux fonctions l'une dans l'autre.

On peut remarquer que dn désigne dans fij l'élément de la normale intérieure. Sï l'on veut le remplacer par l'élément de normale extérieure, il suffit de

changer le signe de -,— ■, et par conséquent celui de la seconde intégrale.

. 503. La démonstration précédente suppose aux fonctions U et V, ainsi qu'à leurs dérivées, des valeurs finies dans l'intérieur du volume considéré. Celte condition est indispensable, et si elle n'était pas remplie, les intégrations par parties sur lesquelles repose ta démonstration ne seraient plus légitimes. Supposons, par exemple, que la fonction V restant finie et continue ainsi que ses dérivées, la fonction U, dans le voisinage d'un point intérieur P, puisse être considérée comme égale

à l'inverse - de la distance à ce point. Décrivons une sphère infiniment petite de

i80 DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

rayon a autour du point P comme centre. Le théorème est applicable évidemment

à la portion du corps extérieure à cette sphère, et comme on a

dx' dy" dz

'd^M rf'U d'M

■dzY

l'intégrale triple

jfjdxdr..^.^^^, , ^^^ , ^^,

peut être étendue au volume tout entier. Il en est de même de

fffd.drdzv^'^ + ^ + ^-^y

qui évidemment est pour l'étendue de la petite sphère un infiniment petit de l'ordre a". L'intégrale

étendue à la surface de la sphère est également infiniment petite, de même ordre que le rayon a; le seul terme à ajouter est donc

crV

dV dn

étendue à la surface de la petite sphère. On a

rfU ^7

dn dr r-

c'est-à-dire, pour les points de la surface, ^j et par conséquent

Vp désignant la valeur de la fonction V au point P, et l'on a enfin

dn

C'est le théorème de Georges Green.