LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

504. Parmi les applications du lliéorème de Green, nous devons citer immédiatement la démonstration très-simple des propriétés des surfaces de niveau démontrées directement (476) d'après M. Chasles, qui les a trouvées indépendamment de lui, mais postérieurement à la publication de l'illustre géomètre.

Soient V, et V^ deux fonctions finies et continues des coordonnées jc, y, z d'un point de l'espace, la première donnée pour les points intérieurs à une surface fermée S, et la seconde pour les points extérieurs. Supposons que pour les points mêmes de S les deux fonctions soient égales, et que de plus on ait

d'Y, dx'

dx'

df' d'Y,

dy'

dz'

d'Y, dz'

Admettons enfin que, pour les points situés à une distance infinie, Vj soit infiniment petit de même ordre que l'inverse - de la distance à l'origine, et les dé-

. . dY, f/V, dY, , . , I ♦ ,, 1 < 1 i-

rivees -r—, -^5 ~-r- de même ordre que — ; on peut attribuer a cbaque élément d<7 de la surface S une masse pda telle, que le potentiel de la surface sur les points extérieurs soit égal à Va, et le potentiel sur les points intérieurs égal à V, ; la valeur de (j qui remplit cette condition est

rfV, dY, dn dn

Y, et Va désignant ce que deviennent les fonctions V, et V, pour les points de la

dY' </V" surface S, et les dérivées -^? -— ayant la signification indiquée (472), où dn

est pour la première une portion infiniment petite de la normale intérieure, et pour la seconde une portion infiniment petite de la normale extérieure.

Pour démontrer ce remarquable tbéorème, appliquons d'abord la formule de

Green, en y supposant V = V,, U = -i r étant la distance à un point M intérieur

à S, et étendant les intégrales triples à la portion de l'espace intérieure à S; comme on a, par hypotbèse,

dy'

et (470)

dx'

dz'