I. €atc. itil

(il

l'équation (6) se réduit à

V, (lésignantce que devient V, pour les points de la surface S, et V, la valeur que prend cette fonction au point M.

En appliquant le même théorème à la portion de l'espace comprise entre la surface S et une sphère de rayon infini, et remplaçant celte fois la fonction V par V^,

on aura, en remarquant qpe - ne devient pas infini,

J r ail J an

car la portion de l'intégrale relative aux éléments de la sphère de rayon infini est

évidemment égale à zéro.

Si l'on ajoute les équations (7) et (8), en remarquant que V, = Vo, et que les

éléments dn étant pris dans des directions opposées, les valeurs de-^- sont égales et de signes contraires, on aura

c est-a-dire, en posant — 7—

47rV',,

dY, dn

ce qui montre que le potentiel de la couche de densité p sur le point quelconque M de son intérieur est égal à la valeur V'^ que prend en ce point la fonction V,.

On prouvera absolument de même en plaçant le point M à l'extérieur, que Te potentiel de la même couche sur les points extérieurs est représenté par Vj.

505. Considérons actuellement une masse attirante quelconque et une de ses surfaces de niveau S sur laquelle le potentiel ait une valeur C. Soit V le potentiel de la portion de masse extérieure à S, et V" celui de la portion intérieure, on aura

et, pour les points de S,

Appliquons le ihéorcme précédent, en prenant

les deux fonctions Vj et V, satisfont évidemment aux conditions supposées (504), et par conséquent, en prenant

__J(d\, d\,\ I ^dy d\"\ 4^^ \ '''* dn J 4^^ V dn dn /'

on obtiendra une couche dont le potentiel sur les points extérieurs sera V", et sur les points intérieurs C — V; cotte couche attirera par conséquent les points extérieurs comme la portion de masse qui lui est intérieure, et son action sur les points intérieurs sera égale et contraire à celle de la portion de masse qui lui est extérieure.

Dans la différence

d\" dn

il faut remarquer que l'élément dn de- la normale a dans les deux termes une direction opposée ; si l'on veut adopter pour les deux dérivées la direction de la normale intérieure, l'expression (i i) devient

dy dn

rfV' dn

et la densité de la couche, égale à