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est, on le voit, proportionnelle à l'intensité de l'attraction en chaque point.

Théorème de M. Crofton.

506. Nous indiquerons, pour terminer ce chapitre, un théorème d'une rare élégance découvert par M. Crofton et dont l'ingénieuse démonstration accroît singulièrement l'intérêt. Quoique l'auteur ait su la rendre indépendante du calcul des probabilités, c'est en s'appuyant sur les premiers principes de cette doctrine qu'on peut lui donner, je crois, la forme la plus simple et la plus nette.

Concevons sur un plan une série de lignes parallèles équidisiantes et supposons que l'on projette au hasard sur ce plan un disque de forme convexe de dimensions

iSi DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

assez petites pour ne pouvoir pas rencontrer deux lignes à la fois. Quelle est la probabilité pour que ce disque en rencontre une et la recouvre en partie? Indépendante de la forme du disque, comme l'a ingénieusement remarqué M. E. Barbier, elle est la même pour tous ceux qui ont même périmètre. Il est clair, en effet, que le disque étant jeté au basard, les éléments infiniment petits qui composent son contour ont chacun la même chance de se trouver sur l'une des parallèles. Si un avantage était attaché à la rencontre, celui qui l'attend pourrait équitablement vendre à prix égaux les chances relatives à chaque élément de longueur «/.y et suivant un tarif tel que la somme totale des prix représentât le double de la somme promise en cas de rencontre, car, d'après la forme du disque, s'il y a un élément gagnant, il y en aura nécessairement deux, ni plus ni moins.

Cela posé, la distance des parallèles étant 2 a, si le disque est un cercle de rayon r,

la probabilité pour qu'il y ait rencontre est évidemment -■> car il faut et il suffît

pour cela que le centre se trouve à une distance moindre que r de l'une des parallèles entre lesquelles il est tombé, et que, par conséquent, sur une distance 2a dont tous les points sont également possibles, le centre du cercle se place dans une portion dont la longueur totale est 2r.

Si l'on nomme L le périmètre de la circonférence, on a

et la probabilité demandée est par conséquent- , , r L

Telle est la formule relative à une courbe convexe quelconque de périmètre L. Une ligne droite ou aiguille de longueur / doit être évidemment considérée comme une courbe fermée de longueur 2/.

507. 'La formule (r) suppose au disque projeté une forme convexe qui ne permette pas à son contour d'être coupé en plus de deux points par une ligne droite. Si l'on calcule au lieu de la probabilité p Vespérance mathématique E d'un joueur qui, pour chaque intersection du contour du disque avec une des lignes tracées sur le papier, recevrait une somme égale à un, on aura évidemment, dans le cas du disque convexe,