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mais cette formule s'applique alors à une courbe de forme quelconque que l'on projette sur l'ensemble des lignes parallèles. En nommant L sa longueur totale et supposant que chaque intersection avec l'une des parallèles soit payée un franc.

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET nÈVELOPPEMENTS. l'espérance mathématique est, pour chaque épreuve,

isr;

Il est clair, en effet, qu'à chaque élément correspond une espérance mathématique indépendante de sa liaison avec les au'.res, et que l'espérance totale dépend par conséquent de la seule longueur L.

508. Supposons que la figure projetée sur l'ensemble des parallèles se compose de deux courbes convexes invariablement liées l'une à l'autre et cherchons la probabilité pour que toutes deux soient rencontrées par une même ligne, en admettant que, d'après l'écartemenl des parallèles, la rencontre simultanée avec deux d'entre elles soit impossible.

Menons aux deux courbes les tangentes communes croisées P, Pj, P, P,, et supposons que l'on projette la figure PjMPfPo NPjP:,. En nommant X sa longueur

totale et supposant que chaque intersection avec l'une des parallèles soit payée un franc, l'espérance mathématique relative à une épreuve est

Les sommes éventuelles auxquelles se rapporte cette espérance mathématique comprennent toutes celles que l'on pourrait toucher s'il était convenu qu'il sera payé quatre francs chaque fois que les deux courbes seront simultanément rencontrées par une des parallèles, mais elles en contiennent d'autres aussi, et il est aisé de voir que ces dernières sont distinguées par cette circonstance qu'elles correspondent à deux intersections seulement de contour P^MP, P2NP4P3, tandis que les lignes qui rencontrent à la fois les deux courbes données coupent nécessairement ce contour en quatre points. D'un autre côté, il est évident aussi que les lignes qui rencontrent ce contour en deux poinis seulement coupent aussi en deux points le contour T, T^ NT4 T, MT, , formé par les deux tangentes T/f,, T, T, et les arcs T, IMTa, T2NT, qui réunissent leurs points de contact, les positions pour lesquelles le premier contour P3IVIP, PjNP^P., offre quatre intersections, en

fournissent également deux pour le second, de sorte que si de l'espérance mathématique relative au premier on retranche celle qui se rapporte au second, on aura l'espérance mathématique d'un joueur qui devrait recevoir deux francs a chaque fois que le système des doux courhes serait rencontré par une des parallèles. Si donc on nomme zs la prohahilité de cette double rencontre et Y la longueur du contourT, MTaTjNT,, on aura

ira

an

509. Supposons que l'une des courbes soit remplacée par une droite infiniment pelile X et cherchons d'après la formule précédente la probabilité pour que le système composé d'une courbe de longueur L et de la droite infiniment petite PQ = >.

étant projeté sur le plan recouvert des lignes parallèles, une de ces parallèles coupe à la fois la courb* et la droite PQ. Soient PTj, PT,, QT3, QT^ les tangentes menées à la courbe par les extrémités de la droite PQ, la probabilité est (508)

T, T, + Ta T. + PT. - QT3 + PT, - QT, + 2PQ

aaTT

Mais (I, 21), en nommant a et jS les angles PQT3 et PQT,,

PT2 — QT, =: - T3 T. - PQ cosa, PT, - QT. = — T4 T, — PQ cos(3;

et la probabilité est par conséquent

2 PQ — PQ c^s« — PQjos (3

510. Les résultats qui précèdent vont nous permettre de résoudre le problème suivant :

Une courbe convexe étant donnée, on y considère deux cordes choisies au hasard,