LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

quelle est la probabilité pour quelles se rencontrent au dedans de la courbe et celle pour quelles se rencontrent au dehors dans un espace déterminé?

Commençons par définir avec plus de précision ce que nous entendons par corde choisie au hasard.

Je suppose que la courbe soit projetée sur le système de parallèles défini plus haut et qu'oi> recommence l'épreuve jusqu'à ce qu'il y ait intersection. La corde détachée par celle des lignes qui est rencontrée sera pour nous la première des cordes choisies au hasard; la seconde s'obtiendra par une autre épreuve renouvelée, s'il est nécessaire, jusqu'à ce qu'elle ait donné un résultat.

Toutes les cordes d'une courbe, d'après cette définition, ne doivent pas être considérées comme également probables, et si par exemple la courbe a la forme

indiquée sur la figure, les cordes parallèles à CD auront une probabilité plus grande que les cordes parallèles à AB.

Cherchons, en général, la probabilité pour qu'une corde prise au hasard soit comprise entre deux directions données faisant entre elles un angle infiniment

petit (/9. Lorsqu'on projette la courbe sur le système des parallèles, toutes les directions que ces parallèles peuvent avoir par rapport à la courbe sont également probables, mais la chance pour que l'épreuve soit efficace et donne une intersection dépend de la distance h des deux tangentes parallèles à la direction considérée. La probabilité d'une telle rencontre, lorsque l'on sait que les deux tangentes

ont pris la direction des lignes parallèles tracées sur le plan, est évidemment — »

et la probabilité pour qu'on obtienne une corde inclinée sur les tangentes T et T', et dans un sens assigné, d'un angle moindre que dO, est

T. 2rt

car il faut, d'une part, que l'on tombe sur la direction demandée, ce dont la probabilité est — 5 et d'autre part qu'il y ait rencontre.

Mais en nommant tz la probabilité cherchée, il faut évidemment, pour que la courbe projetée au hasard soit coupée suivant une corde ayant la direction donnée, en premier lieu qu'il y ait intersection, ce dont la probabilité, en nommant L le

périmètre de la courbe, est > et en second lieu que la direction soit celle assi-

gnée, ce dont la probabilité est ro; on a donc

L hdB

■ ro = )

hdB

Telle est la probabilité pour qu'une corde prise au hasard soit comprise entre deux directions données faisant l'angle dO; elle est proportionnelle à la distance h des tangentes parallèles à ces directions.

Nous pouvons faire ici une vérification. Si l'on considère successivement toutes les directions possibles, il faut nécessairement que la corde coïncide avec l'une d'elles, et par conséquent, pour une courbe quelconque dont le périmètre est L, on doit avoir

hdB—i,

corollaire facile du théorème démontré (407j.

511. Lorsqu'on sait qu'une corde prise au hasard est parallèle à une direction donnée, toutes les distances aux deux tangentes entre lesquelles elle est comprise sont également probables, et si l'on nomme dh un élément de la distance h de ces tangentes, la probabilité pour qu'elle traverse cet élément est par conséquent

La probabilité pour que la corde soit parallèle à la direction donnée et passe par l'élément dh est par conséquent

h de dh __ de dh

TT T ~ iT ' Cela posé, la première corde étant AB, cherchons la probabilité pour qu'elle soit